19_04_02校内训练[图染色]

题意

给一个联通无向图，有n个点和m条边，要求用k种颜色为其染色，使得相邻的两个点颜色不同。n-m≤5,n、m≤100,000。k很大。

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思考

若n、m≤8，用最小表示（例如，染色[1,5,3,1]<=>[1,3,2,1]）。对于一种染色的最小表示，若使用了m种不同的颜色，最后的结果乘以k!/(k-m)!即可。

考虑到边数与点数的差很小，尝试将原图缩小。

第一种点：度数为1。此时可以直接删除，最后答案乘以k-1。

第二种点：度数为2。此时可以将与它相邻的两个点连起来，并附上新的边权。最后对于一种暴力的染色方案，相应的边乘以相应的边权即可。

这样边权就分为两种，一种是两端点颜色不同，一种是两端点颜色相同。我们又知道，对于长度相同的链，无论在哪，最后缩成一条边的贡献一定是一样的。

设type0[i]表示两端点颜色不同，这条边上有i-1个点（为什么i-1，因为方便边权相加）不同的方案数，type1[i]表示两端点颜色相同，i-1个点不同的方案数。

则

type0[i]=type1[i-1]+type0[i-1]*(k-2)

type1[i]=type1[i-1]*(k-2)+type1[i-2]*(k-1)

初始值

type0[1]=1
type0[2]=k-2
type1[2]=k-1

缩完边后暴力统计答案。

O(nm3ⁿ)，这里n≤10，m≤15。

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在脑抽情况下写出的代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const ll maxn=1E5+15;
const ll mod=1E9+7;
ll n,m,k,type0[maxn],type1[maxn],x,y,in[maxn],gg=1,cur,c[maxn],top,back[maxn],ti,ans,what[maxn],vis[maxn];
ll flag;
ll inv[maxn];
vector<int>E[maxn];
map<pair<int,int>,int>w;
pair<int,int> M(int x,int y)
{
    if(x>y)swap(x,y);
    return make_pair(x,y);
}
void erase(vector<int>&S,int x)
{
    for(vector<int>::iterator pt=S.begin();;++pt)
        if(*pt==x){S.erase(pt);break;}
}
void add(int u,int v)
{
    E[u].push_back(v);
    E[v].push_back(u);
    w[M(u,v)]=1;
}
void merge(int x,int u,int v)
{
    erase(E[u],x);
    erase(E[v],x);
    erase(E[x],u);
    erase(E[x],v);
    add(u,v);
    ll g1=w[M(u,x)],g2=w[M(x,v)];
    w[M(u,x)]=w[M(x,v)]=0;
    w[M(u,v)]=g1+g2;
    in[x]=0;
    --cur;
}
void dfs1(int u)
{
    vis[u]=flag;
    for(int i=0;i<E[u].size();++i)
    {
        int v=E[u][i];
        if(vis[v]==flag)continue;
        dfs1(v);
        if(in[v]==1)
        {
            erase(E[u],v);
            erase(E[v],u);
            --in[v],--in[u];
            gg=gg*(k-1)%mod;
            --cur;
        }
    }
}
void paint(int u)
{
    back[u]=++ti;
    what[ti]=u;
    vis[u]=1;
    for(int i=0;i<E[u].size();++i)
    {
        int v=E[u][i];
        if(vis[v])continue;
        paint(v);
    }
}
ll qpow(ll x,ll y)
{
    ll ans=1,base=x;
    while(y)
    {
        if(y&1)ans=ans*base%mod;
        base=base*base%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
void get()
{
    ll sum=gg;
    for(int u=1;u<=cur;++u)
    {
        for(int i=0;i<E[what[u]].size();++i)
        {
            int v=E[what[u]][i];
            if(u>back[v])continue;
            if(c[u]==c[back[v]])sum=sum*type1[w[M(what[u],v)]]%mod;
            else sum=sum*type0[w[M(what[u],v)]]%mod;
        }
    }
    sum=sum*inv[k]%mod*qpow(inv[k-top],mod-2)%mod;
    ans=(ans+sum)%mod;
}
void dfs(int s)
{
    if(s==cur+1){get();return;}
    for(int i=1;i<=top;++i)
    {
        c[s]=i;
        for(int j=0;j<E[what[s]].size();++j)
        {
            int v=E[what[s]][j];
            if(back[v]>=s)continue;
            if(c[s]==c[back[v]]&&type1[w[M(what[s],v)]]==0)goto end;
            else if(type0[w[M(what[s],v)]]==0)goto end;
        }
        dfs(s+1);
        end:;
    }
    ++top;
    c[s]=top;
    dfs(s+1);
    --top;
}
void init()
{
    type0[1]=1;
    type0[2]=k-2;
    type1[2]=k-1;
    for(int i=3;i<=n;++i)
    {
        type0[i]=(type1[i-1]%mod+type0[i-1]*(k-2)%mod)%mod;
        type1[i]=(type1[i-1]*(k-2)%mod+type1[i-2]*(k-1)%mod)%mod;
    }
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=k;++i)inv[i]=inv[i-1]*i%mod;
}
int main()
{
    freopen("7_1.in","r",stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m>>k;
    init();
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        cin>>x>>y;
        add(x,y);
        ++in[x],++in[y];
    }
    cur=n;
    for(int i=1;i<=n;++i)if(in[i]==1){++flag;dfs1(i);}
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n&&cur>3;++i)
        if(in[i]==2&&w[M(E[i][0],E[i][1])]==0)merge(i,E[i][0],E[i][1]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        if(E[i].size()!=0)
        {
            paint(i);
            break;
        }
    }
    dfs(1);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}