FFT也能用于一些特殊的字符串匹配与最小化问题。

Prob 1 : 给出模式串A与文本串B,两个串中只有26个大写字母与通配符'?'(即可以任意匹配一个字符),求A在B中的匹配数。要求以FFT为例给出上限为O(nlogn)的算法。


Prob 2 : 给出模式串A与文本串B,字符集很小,求A在B中的匹配数,允许有k个字符不同。要求以FFT为例给出上限为O(nlogn*|S|)的算法。


Prob 3 : 给出数列a和b,长度均为n,a可以顺时针转动但不能翻转,最小化sigma(ai*bi)。要求以FFT为例给出上限为O(nlogn)的算法。


不知道是什么东西的引导

 我们先看看FFT干了什么,就是个卷积。

以数组a和b为例(这里下标从1开始),a有4位,b有8位,卷出的结果放在c数组中。

然而并没有什么用处。我们再往后看几位:

虽然FFT时会把a数组给自动补全,但从实际意义上来讲,只是整个a数组与b数组中四个数相乘放进c中。

不难发现,此时的下标就是一个“占位符”。

我们顺便把a数组反一反,就有:

这样就有很好的性质了,c数组中从第5位开始,每往后一位就是整个a数组与b数组中连续的四位积的和。

同样可以拓展到更大的数组中,接下来的题目就要利用这个特点。


Prob 1

我们发现字符串的匹配很类似于上述图片中一位位算过去。

先不考虑通配符,只是普通的字符串匹配。定义为A的第x位与B的第y位的匹配度。若C为0,则是匹配的。

再定义,表示B字符串中以x为结尾,向前m-1位与A字符串的匹配度。我们天真地考虑若P为0,则是匹配的。

但是C有正有负,因此一旦连续的几位的可重集是相同的,P的结果就为0。

所以在C上动手脚。干脆加个平方吧:

这样,

但还不能优化!因此我们又看了看上面的图,把A字符串反了过来。定义

注意到(m-i-1)+(x-m+1+i)==x,有:

这样S与B做一遍卷积就行了。S与B的值取字符串的字符值就行了。

那带上通配符,只要有任何字符遇上“?”,C的值就必须是0。这样在原来P的式子中,后面乘上S与B中相应的第几位,若是“?”,给其赋值为0。则

做三次FFT,加起来等于0的,即为匹配。

  1 //源:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4173
  2 #include<bits/stdc++.h>
  3 using namespace std;
  4 const int maxn=1233333;
  5 const double pi=3.1415926535898;
  6 struct com
  7 {
  8     double a,b;
  9     com(double A=0,double B=0){a=A,b=B;}
 10     void operator=(com x){a=x.a,b=x.b;}
 11     com operator+(com x){return com(a+x.a,b+x.b);}
 12     com operator-(com x){return com(a-x.a,b-x.b);}
 13     com operator*(com x){return com(a*x.a-b*x.b,a*x.b+b*x.a);}
 14     com operator/(double d){return com(a/d,b/d);}
 15     com operator*(double d){return com(a*d,b*d);}
 16 }A[maxn],B[maxn],ans[maxn];
 17 int n,m,limit,r[maxn],len,g1[maxn],g2[maxn];
 18 char ch;
 19 int re(int x)
 20 {
 21     int sum=0;
 22     for(int i=0;i<len;++i)
 23     {
 24         sum=sum*2+x%2;
 25         x/=2;
 26     }
 27     return sum;
 28 }
 29 void FFT(com*A,int g)
 30 {
 31     for(int i=0;i<limit;++i)
 32         if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]);
 33     for(int i=2;i<=limit;i*=2)
 34     {
 35         com w(cos(2*pi/i),g*sin(2*pi/i));
 36         for(int j=0;j<limit/i;++j)
 37         {
 38             com d(1,0);
 39             for(int k=0;k<i/2;++k)
 40             {
 41                 com a=A[i*j+k],b=d*A[i*j+i/2+k];
 42                 A[i*j+k]=a+b;
 43                 A[i*j+i/2+k]=a-b;
 44                 d=w*d;
 45             }
 46         }
 47     }
 48 }
 49 void out(com*A)
 50 {
 51     for(int i=0;i<limit;++i)cout<<A[i].a<<' ';
 52     cout<<endl;
 53 }
 54 void get(com*A,com*B)
 55 {
 56     FFT(A,1);
 57     FFT(B,1);
 58     for(int i=0;i<limit;++i)A[i]=A[i]*B[i];
 59     FFT(A,-1);
 60     for(int i=0;i<limit;++i)A[i]=A[i]/limit;
 61 }
 62 int main()
 63 {
 64     ios::sync_with_stdio(false);
 65     cin>>n>>m;
 66     for(int i=n-1;i>=0;--i)
 67     {
 68         cin>>ch;
 69         if(ch!='*')
 70         {
 71             int x=ch-'a'+1;
 72             A[i]=g1[i]=x;
 73         }
 74     }
 75     for(int i=0;i<m;++i)
 76     {
 77         cin>>ch;
 78         if(ch!='*')
 79         {
 80             int x=ch-'a'+1;
 81             g2[i]=x;
 82             B[i]=x*x*x;
 83         }
 84     }
 85     limit=1;
 86     while(limit<n+m+1)limit*=2,++len;
 87     for(int i=0;i<limit;++i)r[i]=re(i);
 88     get(A,B);
 89     for(int i=0;i<limit;++i)ans[i]=A[i];
 90     
 91     for(int i=limit-1;i>=0;--i)A[i]=g1[i]*g1[i]*g1[i];
 92     for(int i=0;i<limit;++i)B[i]=g2[i];
 93     get(A,B);
 94     for(int i=0;i<limit;++i)ans[i]=ans[i]+A[i];
 95     
 96     for(int i=limit-1;i>=0;--i)A[i]=g1[i]*g1[i];
 97     for(int i=0;i<limit;++i)B[i]=g2[i]*g2[i];
 98     get(A,B);
 99     for(int i=0;i<limit;++i)ans[i]=ans[i]-A[i]*2;
100     
101     int tot=0;
102     for(int i=n-1;i<m;++i)if(int(ans[i].a+0.5)==0)++tot;
103     cout<<tot<<endl;
104     for(int i=n-1;i<m;++i)if(int(ans[i].a+0.5)==0)cout<<i-n+2<<' ';
105     cout<<endl;
106     return 0;
107 }
代码

 


Prob 2

若字符只有’0'和'1'的呢?按照上面的做法,最后结果小于等于2的即为匹配(因为会有地方算两遍)。

再拓展一下,字符集多大就做几遍。最后的和加起来即可。

但由于一些奇妙的原因,至今我交不过去。只有网址。

其实随便哈希就能过了,SA也行。

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3763


Prob 3

仍然是老套路。我们只要把其中某个数组的长度变为两倍,再重复写下前面的数就行了。

类似的题目:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3723

 

最后,如果能用一些数据结构或方法来维护的话就别写FFT了。

 posted on 2019-03-23 21:56  GreenDuck  阅读(231)  评论(0编辑  收藏  举报