组合数学 第五次作业

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考虑有 \(n\) 个元素的集合 \(A=\{a, b, c \dots\}\)，其至少含有 \(a, b, c\) 之一的 \(k\) 子集的个数为 \(\displaystyle \binom{n}{k}-\binom{n-3}{k}\)。

考虑从另一个角度计算上述个数。

首先，含 \(a\) 的 \(A\) 的 \(k\) 子集的数量为 \(\displaystyle \binom{n - 1}{k - 1}\)。

其次，考虑那些不含 \(a\) 但含 \(b\) 的 \(A\) 的 \(k\) 子集，这部分数量为 \(\displaystyle \binom{n - 2}{k - 1}\)。

再次，考虑那些不含 \(a\) 也不含 \(b\)，但含 \(c\) 的 \(A\) 的 \(k\) 子集，这部分数量为 \(\displaystyle \binom{n - 3}{k - 1}\)。

所以我们得到 \(\displaystyle \binom{n}{k}-\binom{n-3}{k} = \binom{n - 1}{k - 1} + \binom{n - 2}{k - 1} + \binom{n - 3}{k - 1}\)。

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(a)

\(\displaystyle \binom{24}{10}\)

(b)

\(\displaystyle \binom{9}{4}\binom{15}{6}\)

(c)

\(\displaystyle \binom{9}{4}\binom{9}{3}\binom{6}{3}\)

(d)

\(\displaystyle \binom{9}{4}\left(\binom{15}{6}-\binom{9}{3}\binom{6}{3}\right)\)

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记 \(A=\{1, 2, \dots n\}\)。

考虑对 \(A\) 的子集 \(A'\)，设其大小为 \(k\)。显然 \(\left|A'\times A'\right|=k^2\)。

则显然 \(\displaystyle \sum\limits_{A'\subset A}\left|A'\times A'\right|=\sum\limits_{k=1}^{n}k^2\binom{n}{k}\)（因为 \(A\) 的 \(k\) 子集共有 \(\displaystyle\binom{n}{k}\) 个）。

考虑 \(A\times A\) 的每个元素对上述数量的贡献。

对所有满足 \(i\neq j\) 的 \((i, j)\in A\times A\)，由于除去 \(i, j\) 后 \(A\) 还有 \(n-2\) 个元素，所以满足 \(\{i, j\}\subset A'\) 的 \(A'\) 有 \(2^{n-2}\) 个，因此 \((i, j)\) 会在这 \(2^{n-2}\) 个 \(A'\times A'\) 中被计数。这部分对数量的贡献为：\(\displaystyle 2\binom{n}{2}2^{n-2}\)。

对所有 \((i, i)\in A\times A\)，由于除去 \(i\) 后 \(A\) 还有 \(n-1\) 个元素，所以满足 \(\{i\}\subset A'\) 的 \(A'\) 有 \(2^{n-1}\) 个，因此 \((i, i)\) 会在这 \(2^{n-1}\) 个 \(A'\times A'\) 中被计数。这部分对数量的贡献为：\(\displaystyle\binom{n}{1}2^{n-1}\)。

两部分相加，总数量为 \(\displaystyle\binom{n}{1}2^{n-1}+2\binom{n}{2}2^{n-2}=n2^{n-1}+n(n-1)2^{n-2}=n(n+1)2^{n-2}\)。

所以 \(\displaystyle n(n+1)2^{n-2}=\sum\limits_{k=1}^{n}k^2\binom{n}{k}\)。

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考虑将 \(1, 2, \dots 2n\) 分为 \(1, 2, \dots n\) 和 \(n+1, n+2, \dots, 2n\) 两个部分。

等式左边的含义：在两部分中分别取 \(k\) 和 \(n-k\) 个，并在从第一部分选取的元素中指定一个特殊元素。

考虑先指定这个特殊元素，再取剩余的 \(n-1\) 个元素。这样做的方案数是：\(\displaystyle n\binom{2n-1}{n-1}\)，与等式右边相同。

所以 \(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^nk\binom{n}{k}^2=n\binom{2n-1}{n-1}\)。

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显然这等于 \(\displaystyle \binom{m_1+m_2+m_3}{n}\)。