组合数学 第三次作业

1

考虑一个数 \(x\)，其被 \(2n\) 除的余数是 \(i\)。

如果另一个数 \(y\) 被 \(2n\) 除的余数是 \(i\)，那么 \(|x-y|\) 必能被 \(2n\) 整除。

如果另一个数 \(y\) 被 \(2n\) 除的余数是 \(2n-i\)，那么 \(x+y\) 显然也必能被 \(2n\) 整除。

将被 \(2n\) 除余 \(i\) 的数和被 \(2n\) 除余 \(2n-i\) 的数归为同一类。

那么总共有 \(n\) 类。

因此 \(n+2\) 个任选的正整数必有两个落在同一类中。

也就必存在满足题设条件的两个数。

2

考虑这 \(10\) 个人的任非空子集 \(A\)。

记 \(\sum A\) 为 \(A\) 中的人的年龄和。

由于 \(1\le |A|\le 10\)，显然有 \(1\le \sum A\le 600\)。

\(10\) 个人的非空子集数为 \(2^{10}-1=1023\)。

而 \(\sum A\) 的取值又只有 \(600\) 种可能性，因此必存在两个不同的非空子集 \(A, B\) 满足 \(\sum A=\sum B\)

那么显然 \(\sum (A\setminus B)=\sum (B\setminus A)\)，且 \((A\setminus B)\cap (B\setminus A)=\emptyset\)。

故总能找出不重复的两组人使得他们年龄和相同。

\(2^n-2>60(n-1)\Longleftrightarrow n\geq 9\)

故可以把 \(n\) 换成 \(9\)。

由程序验证，也可以把 \(n\) 换成 \(8\)。

3

考虑 \(n\) 的分解：\(n=p\cdot 2^i\cdot 5^j\)，其中 \(\gcd(p, 10)=1\)。

显然有 \(\gcd(3p, 10)=1\)。

根据欧拉定理，有 \(10^{\varphi(3p)}\equiv 1\pmod{3p}\)。

那么有 \(10^{\varphi(3p)}-1=3kp,\;k\in \mathbb{N}^\ast\)

那么有 \(\cfrac{10^{\varphi(3p)}-1}{3}\cdot 10^{\max(i, j)}=mn,\;m\in \mathbb{N}^\ast\)

而 \(\cfrac{10^{\varphi(3p)}-1}{3}\cdot 10^{\max(i, j)}=33\dots3300\dots00\)

因此存在由 \(0\) 和 \(3\) 组成的正整数能被 \(n\) 整除。

4

\(1+2+\dots+36=\cfrac{36\times 37}{2}=666=55\times 12+6\)

将 \(36\) 段依次分成 \(12\) 部分。

若每部分数字之和均少于 \(56\)，那么数字总和将少于 \(660\)。

因此必存在一部分（即三个相邻段）数字之和至少是 \(56\)。

5

将 \(\{1, 2, \dots, n\}\) 的子集分组：

\(A\) 与 \(\{1, 2, \dots, n\}\setminus A\) 分为一组。

显然这样一来共有 \(2^{n-1}\) 组。

若选出一组中的两个集合，显然它们没有公共元素。

因此每组中至多有一个集合可以被选出。

因此最多选出 \(2^{n-1}\) 个集合，使得它们两两有公共元素。