勾股数组【学习笔记】

本原勾股数组（简写为PPT）是一个三元组（a,b,c）,其中a,b,c没有公因数，且满足a^2 + b^2 = c^2。例如下面是一项本原勾股数组：

（3，4, 5），（5,12,13），（8,15,17），（7,24,25），（9,40,41），（11,60,61），（28,45,56），（33,56,65）。

由这个短表容易得到一些结论，例如，似乎a与b奇偶性不同且c总是奇数。

证明如下：

若a与b都是偶数，则c也是偶数，意味着a,b,c有公因数2，所以三元组不是本原的，其次，若a,b都是奇数，那么c必然是偶数，这样假设a=2x+1,b=2y+1,c=2z,代入a^2 + b^2 = c^2，化简后得2x^2 + 2x + 2y^2 + 2y + 1 = 2z，显然不成立。所以，考虑到a,b的互换性，我们得出a是奇数，b是偶数，a,b,c没有公因数。

接着观察如下，如果（a,b,c）是本原勾股数组，则可进行因数分解：

a^2 = c^2 – b^2 = (c - b) * (c + b)

下面为举例:

3^2 = 5^2 - 4^2 = (5-4)(5+4) = 1 * 9,

15^2 = 17^2 - 8^2 = (17-8)(17+8) = 9 * 25,

21^2 = 29^2 - 20^2 = (29-20)(29+20) = 9 * 49。

我们发现似乎c - b与c + b本身总是平方数，如何证明呢？

由前面观察，c – b与c + b似乎没有公因数，证明如下：

假设正整数d是c-b与c+b的公因数，则d也整除(c - b) + ( c + b) = 2c 和 (c + b) - (c - b) = 2b，但是b和c没有公因数，所以d = 1或d = 2，但是d也整除（c - b）* (c + b) = a^2，因为a是奇数，所以只能是d = 1，所以c - b与c + b没有公因数。

现在我们知道c-b与c+b无公因数并且相乘为平方数，所以c-b与c+b自身都是平方数，记：

c + b = s^2, c – b = t^2, 其中s> t≥1是没有公因数的奇数。所以解为：

b = (s^2 - t^2)/ 2,

c = (s^2 + t^2)/ 2,

a = s * t.

从而得出勾股数组定理：

每个本原勾股数组(a,b,c)(其中a为奇数，b为偶数)都可从如下公式得出：

a = s * t，b = (s^2 - t^2)/ 2,  c = (s^2 + t^2)/ 2。

其中a>t≥1是任意没有公因数的奇数。

如果取t=1，则三元组（s,  (s^2 - 1)/ 2, (s^2 + 1)/ 2），它的b与c值仅相差1.

 

今天正好做了一道有关的题：

题目链接：codeforces 707C. Pythagorean Triples

题意：给出一个数，构造勾股数。

题解：

a≤2时无解；

a为奇数时，直接用上面取t = 1的公式得b = (a^2 - 1)/ 2, c = (a^2 + 1)/ 2；

a为偶数时，当a = 4 *d时，直接可以套勾股数(3,4,5)，从而b= 3 *d, c = 5 * d，

                     对于其他的偶数a，可以a = a/ 2, 将a化为奇数，再直接用上面公式即可.

#include<cstdio>
int main(){
    long long a;
    scanf("%I64d", &a);
    if(a == 1 || a == 2)
        printf("-1\n");
    else if(a % 4 == 0){
        printf("%I64d %I64d\n", a/4*3, a/4*5);
    }
    else if(a % 2 == 0){
        a /= 2;
        printf("%I64d %I64d\n", (a*a-1)/2*2, (a*a+1)/2*2);
    }
    else
        printf("%I64d %I64d\n", (a*a-1)/2, (a*a+1)/2);
    return 0;
}