【编程之美学习笔记】2.3寻找发帖水王

坊间风闻“水王”发帖数目超过帖子总数的一半，如果你有一个当前论坛上所有帖子的列表，其中帖子作者的ID也在表中，你能快速找出这个传说中的水王吗？

题意即找出数组中超过一半的数。

最直接的方法是对所有ID排序，然后再扫描一遍排好的ID列表，统计各个ID出现的次数，若某个ID次数超过总数的一半则输出这个ID，这个算法的时间复杂度为O（N * log2N + N）。

但事实上，若ID列表有序，不必再次扫描列表。若一个ID出现的次数超过总数N的一半，那么这个有序的ID列表中的第N/2项（从0开始编号）一定会是这个ID。这样能迅速定位到列表的某一项的话（比如用数组），该时间复杂度为O（N * log2N ）。

但上面两种方法都要先对ID列表进行排序，时间复杂度方面没有本质的改进，能否避免排序呢？

如果每次删除 2 个不同的ID（不管是否包含“水王”的ID），那么在剩下的ID列表中，“水王”的ID出现的次数仍然超过总数的一半。可以通过不断重复这个过程把ID列表中的ID总数降低（转化为更小的问题），从而得到答案。

这个思路，避免了排序这个耗时的步骤，总的时间复杂度只有O（N），且只需要常数的额外内存。

Type Find(Type *ID, int N){
    Type candidate;
    int nTimes, i;
    for(i = nTimes = 0; i < N; i++){
        if(nTimes == 0){
            candidate = ID[i], nTimes = 1;
        }
        else{
            if(candidate == ID[i])
                nTimes++;
            else
                nTimes--;
        }
    }
    return candidate;
}

这个题目体现了计算机科学中很普通的思想，就是如何把一个问题转化为规模较小的若干个问题。分治、递推和贪心等都是基于这样的思路。在转化的过程中，小的问题跟原问题本质上一致。同样我们可以将小问题转化为更小的问题，因此转化过程是很重要的。像上面这题，我们保证了问题的解在小问题中仍然具有与原问题相同的性质：水王的ID在ID列表中的数量超过一半。转化的效率越高，转化之后问题规模缩小得越快，则整体的时间复杂度越低。

扩展问题：

现在有3个发帖很多的ID，他们的发帖数目都超过了帖子总数目N的1/4，你能从发帖ID列表中快速找出他们的ID吗？

思路与本题一样用抵消法，每次删除 4 个不同的ID即可。

Type candidate[3];
void Find1(Type *ID, int N) {
    int nTimes[3] = {0};
    for(int i = 0; i < N; ++i) {
        if(nTimes[0] == 0) {
            candidate[0] = ID[i];
            nTimes[0] = 1;
        }else if(nTimes[1] == 0 && ID[i] != candidate[0]) {
            candidate[1] = ID[i];
            nTimes[1] = 1;
        }else if(nTimes[2] == 0 && ID[i] != candidate[0] && ID[i] != candidate[1]) {
            candidate[2] = ID[i];
            nTimes[2] = 1;
        }else{
            if(candidate[0] == ID[i])
                nTimes[0]++;
            else if(candidate[1] == ID[i])
                nTimes[1]++;
            else if(candidate[2] == ID[i])
                nTimes[2]++;
            else{
                nTimes[0]--;
                nTimes[1]--;
                nTimes[2]--;
            }
        }
    }
}