算法分析-渐进分析

几种基本渐进符号的解释

要注意的一点是，算法分析中的数量级\(n\)是不小于零的整数，即可取0，1，2 ……

\(O\) 上界情况

对于执行次数函数\(f(n)\)，存在常量\(n_0,c\)，有任意\(n > n_0\) 使得\(0 \leq f(n) \leq cg(n)\)，则称\(f(n)\)在\(O(g(n))\)中。

同时由图像可以看出\(O(g(n))\)可以看作是满足上述条件的所有函数的集合

\(\Omega\) 下界情况

对于执行次数函数\(f(n)\)，存在常量\(n_0,c\)，有任意\(n > n_0\) 使得\(0 \leq cg(n) \leq f(n)\)，则称\(f(n)\)在\(\Omega(g(n))\)中。

同样，\(\Omega(g(n))\)表示的是满足上述条件的所有函数的集合。

\(\Theta\) 平均情况

对于执行次数函数\(f(n)\)，存在常量\(n_0,c_1,c_2\)，有任意\(n\geq n_0\)使得\(0\leq c_1g(n) \leq f(n)\leq c_2g(n)\)，则称\(f(n)\)是\(\Theta(g(n))\).

\(\Theta(g(n))\)也可以看作是上述所有函数的集合，其中的集合中每个成员\(f(n)\in \Theta(g(n))\)渐进非负

练习解析

假设f(n)与g(n)都是渐进非负函数，使用定义证明\(max(f(n)+g(n))=\Theta(f(n)+g(n))\)

根据平均情况的定义：要证明的存在\(c_1,c_2,n0使得任意n\geq n_0有\)

\[0\leq c_1(f(n)+g(n))\leq max(f(n)+g(n))\leq c_2(f(n)+g(n)) \]

可以看出当\(c_1=1/2,c_2=1,n_0\in N\)时上式均成立，证毕。