裴蜀定理学习笔记

什么是裴蜀定理

裴蜀定理（或贝祖定理，Bézout's identity）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约

数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且（a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。

——百度百科

 

用人话来说就是：

 $\sum{(a_i \times x_i)} = b $

上面的x有解当且仅当 $gcd(a_i)|b$

 

例题

luogu P4549 【模板】裴蜀定理

//Luogu P4549 【模板】裴蜀定理
//Nov,9th,2018
//裴蜀定理模板提
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long read()
{
    long long x=0,f=1; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int n=read();
    int ans;
    if(n<2)
        ans=read();
    else
    {
        ans=gcd(read(),read());
        for(int i=3;i<=n;i++)
            ans=gcd(ans,read());
    }
        
    printf("%d",ans>0?ans:-ans);
    return 0;
}