狄利克雷卷积学习笔记

蒟蒻尚在学习，请各位dalao不要相信本文的任何一个字，包括标点符号。

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什么是狄利克雷卷积

狄利克雷卷积定义式如下：
\(\large f*g(n)=\sum_{d|n}f(d)*g(\frac{n}{d})\)
也可以写作：
\(\large f*g(n)=\sum_{i*j=n}f(i)*g(j)\)

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怎么算狄利克雷卷积

单独计算\(f*g(n)\)

显然我们可以根据定义式暴力计算，枚举\(i\)即可，复杂度\(O(\sqrt{n})\)
这里就不上代码了，跟暴力枚举质数长得基本上一模一样。

计算\(f*g\)

如果再像暴力计算那样，复杂度将达到恐怖的\(O(n\sqrt{n})\)。
但是我们可以从质数筛（埃塞）的想法入手，我们可以直接枚举一个\(i\)，再为它的倍数上的值加上对应的贡献就好。时间复杂度\(O(nlogn)\)。
代码大概长这样w

void Dirichlet(int f[],int g[],int ans[],int n)
{
    memset(ans,0,sizeof ans);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;i*j<=n;j++)
            ans[i*j]+=f[i]*g[j];
}

怎么样，是不是比FFT容易一千万倍？

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狄利克雷卷积有什么性质

满足：

1. 交换律
2. 结合律
3. 分配率

单位元\(f*e=f\)