LCT学习笔记

为啥要学LCT啊

在开坑之间，我们来先看一段对话：

Q：给你一颗森林，现在不断的连接森林中的两棵树，保证不连出环，多次问你某两个点的连通性？

A（dalao&蒟蒻）：这不是SB题吗？显然并查集水过啊。

Q：说的好，但是如果我要删除某些边呢？

A（dalao）：那就可持久化并查集啊，你的问题怎么那么水。

A（蒟蒻）：........（发出gg的声音）

 

这时候，如果我们并不想写可持久化并查集的话，就得请出我们大名鼎鼎的林特卡特树了。

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啥是林特卡特树啊

LCT实质上就是用splay+树剖思想维护的动态森林。

用人话来说，就是维护一个可以随便删边和连边的森林（注：不能连出环来）

LCT的基础功能有：

　　1.连接森林中的两棵树或删除某条边

　　2.维护这颗森林的连通性

　　3.内定森林中某颗树的根

事实上，LCT还可以做一些包括但不限于维护一些奇奇怪怪的值的鬼畜操作。

 

咋林特卡特树啊

首先呢，我们的得先了解LCT树[注1]与原森林的关系。

我们的LCT树是由一堆连通块组成的，一个连通块就是原森林中的一颗树。

而每个连通块又由一堆splay组成，每个splay可以理解为每颗原树中树链剖分上的重边。splay与splay之间又有连接关系，即一颗splay的根单向连到另外一颗splay的孩子上，这一堆有单向关系的splay就构成了一个联通块。（可以对应的理解为一个树的树链剖分是有一堆重链组成的，重链在这里以splay的形式出现）。

注1：（虽然这样叫是绝对不正确的，因为T就是tree的缩写，但是为了与LCT算法分开来，我们姑且把LCT维护的东西叫做LCT树）

 

Acess：

由上定义可以看出，我们要对某个点操作，首先要把这个点的连通块给提到LCT树的根上来（可以类比为splay到根上来），然后还要把这个splay连到到LCT树的根所在的重链上去。

听起来很复杂对不对？的确挺复杂。但是这个操作是LCT最基本的操作，其他所有操作都围绕着它展开。

具体原理可以参考这篇博客的介绍，这里只讲做法：

我们把当前操作的点先splay至它所在的splay的根，把这个根的右孩子连至上一次这样操作的根（即连一条重链），对当前点的父亲重复这个过程。

大概是长成这样：

inline void Access(int x)
    {
        for(int t=0;x!=0;t=x,x=fa[x])
            Splay(x),son[x][1]=t,fa[t]=x,Update(x);//注意这里的update，因为孩子关系变了，要更新根节点的数据
    

 

GetRoot:

我们要判断原森林中两个点的连通性，你第一反应是什么？没错，我们只需要判断它们的根是否相同就可以了。因此，我们这里就需要一个getroot函数来得到每个点的根。

方法很简单：我们只需要先Acess这个点使得它所在的splay连通块作为LCT森林的根，把这个点splay到根，再一路向左找就好（因为原树中的根的深度一定是最小的）

代码大概长这样：

inline int FindRoot(int x)
    {
        Access(x),Splay(x);
        while(son[x][0]!=0)
            PushDown(x),x=son[x][0];
        Splay(x);//这里splay是为了让这个点所在的splay更平衡一点
        return x;
    }

 

MakeRoot:

我们既然维护的是一颗动态的森林，那难免会有连边和删边。为了操作的方便，有时我们需要内定一个点作为原森林中的它所在的树的根。

具体做法是这样的：我们先把它Acess(x),splay(x)，让它先处于LCT森林的根，然后在把它的左右子树彻底翻转（即每个孩子都翻转），这里可以通过打标记来降低复杂度。（原理请看上面的链接的博客）

代码这样：

inline void MakeRoot(int x)
    {
        Access(x),Splay(x);
        Mirror(x);
    }

 

Link:

LCT既然维护了一个森林，连连边都做不了，岂不是很丢人？

link的意思是连接原森林中的一条边。

我们只需要这样做：先getroot来判断一下他们是否已经在同一颗树上了，然后makeroot（x）来内定x作为它所在的树的根，再指定一下它的父亲为y即可（即连一条轻边）

inline int Link(int x,int y)//x->y
    {
        if(FindRoot(x)==FindRoot(y))    return 1;
        MakeRoot(x);
        fa[x]=y;
        return 0;
    }

 

Split：

我们有时候要在LCT中拉出原森林中的一条边来获取信息或搞点事情，因此，我们需要一个函数来处理这破事。

我们只需要先内定x为根，然后再Acess(y)，splay(y)，此时，如果这条边存在的话，那么x一定是y的左孩子（因为它们深度相邻且x比y浅）

代码长这样：

inline void Split(int x,int y)//y为根
    {
        MakeRoot(x);
        Access(y),Splay(y);
    }

 

Cut

LCT的意义就在于此（如果不能Cut，那连并查集都不如，人家一个log，LCT两个log呢），我们需要删除原森林中的一条边的时候，就需要cut操作了。

具体方法如下：先把这条边拉出来(Split)，然后再检查一下边是否存在，存在的话双向断边即可。

代码长这样：

inline int Cut(int x,int y)
    {
        Split(x,y);
        if(fa[x]==y and son[y][0]==x)
        {
            fa[x]=son[y][0]=0;
            Update(y);
            return 0;
        }
        return 1;
    }

 

以上就是LCT的基本操作啦，如果有别的需求，我们可以在splay上多记录一点东西（正如之前专门考splay的题一样）就可以搞定啦。

恭喜你学会了LCT，撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿

 

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有啥题目练啊

1.P2147 [SDOI2008]洞穴勘测 （LCT维护森林连通性）

2.P3203 [HNOI2010]弹飞绵羊 （LCT维护森林中的每棵树的长度）

3.P2168 [NOI2015]荷马史诗  （LCT维护边权和）