淀粉质(点分治) 学习笔记
什么是淀粉质点分治？
就是把分治搬到树上，以某个点为根，分别分治处理子树的答案，再计算子树与子树间的答案的玄学算法。
举个例子：
如何求出一颗树上距离为K且所经过的点最少的点对？
对于这种题，我们可以把某个点（一般为重心）作为根，然后对左右子树递归处理，先分别得出左右子树的答案，再求出横跨两个子树之间的点对的答案。
为什么要学淀粉质
对于上面那道题，如果我们用传统的暴力做法，最优的复杂度只能得到$O(n^2)$的暴力枚举，但是如果我们用淀粉质来搞，我们就可以做到$O(n*log_n)$的复杂度（如果K很大的话，我们可能还得套个数据结构上去，复杂度就变成了$O(n*log_n^2)$），我们就可以通过这类题目。
怎么淀粉质啊
正如我们刚刚说说的，淀粉质的实质是选出一个点，对其左右子树分治，再计算组合不同子树的答案。
所以说，我们在处理某颗子树之前，必须先选出来一个点作为这个子树的根。
我们选的这个点，对我们复杂度的影响极其巨大。
我们可以考虑选重心，重心就是指如果这个点做为根，其任意一颗子树大小均不会超过总点树的$1/2$。
如果我们每次对子树分治的时候，新选的根是重心，那我们的树的总层数一定不会超过$log_n$层。
对于找重心，我们每次都做一遍dfs就好。
int GetSize(int now)
{
t_vis[now]=true;
size[now]=1;
for(int i=0;i<int(e[now].size());i++)
if(t_vis[e[now][i].to]==false and vis[e[now][i].to]==false)
size[now]+=GetSize(e[now][i].to);
t_vis[now]=false;
return size[now];
}
int root,cnt;
void GetRoot(int now)
{
t_vis[now]=true;
int t_size=1,OK=true;
for(int i=0;i<int(e[now].size());i++)
if(t_vis[e[now][i].to]==false and vis[e[now][i].to]==false)
{
GetRoot(e[now][i].to);
if(size[e[now][i].to]>cnt/2) OK=false;
t_size+=size[e[now][i].to];
}
if(cnt-t_size>cnt/2) OK=false;
if(OK==true) root=now;
t_vis[now]=false;
}
选出来重心之后，我们就可以以重心为根分治了。
首先，我们显然可以递归处理子树，然后再处理跨越两个子树的情况。
对于我们上面讲的那道题，我们所需要求的就是跨过两个子树且距离为K的点对的数量。
我们可以考虑这样做：
我们先开一个桶来记录长度为x的路径的点的数量，然后对每颗子树先做两遍dfs，第一遍先去桶里找到目前的点为止，之前找到的子树中有没有K-dis_now的路径。第二遍我们再把到每个点的距离放到桶里面去。
搞完之后，我们可以再dfs一次来回溯掉之前加上的东西，如果我们直接memset的话，会T的。
*注意：我们这里的dfs必须只能走已经分治完成的点，分治完成的点才是其儿子
void dfs2(int now,int dis,int t_cnt,int type)
{
t_vis[now]=true;
if(type==1 and K-dis>=0)
ans=min(ans,t_cnt+tot[K-dis]);
if(type==2 and dis<M)
tot[dis]=min(tot[dis],t_cnt);
if(type==3 and dis<M)
tot[dis]=inf;
for(int i=0;i<int(e[now].size());i++)
if(done[e[now][i].to]==true and t_vis[e[now][i].to]==false)
dfs2(e[now][i].to,dis+e[now][i].w,t_cnt+1,type);
t_vis[now]=false;
}
void dfs(int now)
{
vis[now]=true;
vector <road> son;
son.reserve(32);
for(int i=0;i<int(e[now].size());i++)
if(vis[e[now][i].to]==false)
{
cnt=GetSize(e[now][i].to);
GetRoot(e[now][i].to);
dfs(root);
son.push_back(e[now][i]);
}
for(int i=0;i<int(son.size());i++)
dfs2(son[i].to,son[i].w,1,1),dfs2(son[i].to,son[i].w,1,2);
for(int i=0;i<int(son.size());i++)
dfs2(son[i].to,son[i].w,1,3);
done[now]=true;
}
这样子搞，看起来时间复杂度很爆炸，其实并不大，因为我们最多有$log_n$层，每层做$n$次，总复杂度也就只有$O(n*log_n)$
这样子，我们就搞定啦φ(>ω<*)
完整的代码
题目传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4149（题目稍有变动，但方法类似）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
long long read()
{
long long x=0,f=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
const int N=200000+100;
const int M=1000000+100;
const int inf=0x3f3f3f3f;
struct road
{
int to,w;
road (int A,int B)
{
to=A,w=B;
}
};
vector <road> e[N];
int n,K;
bool vis[N],t_vis[N],done[N];
int size[N],cnt,root;
int GetSize(int now)
{
t_vis[now]=true;
size[now]=1;
for(int i=0;i<int(e[now].size());i++)
if(t_vis[e[now][i].to]==false and vis[e[now][i].to]==false)
size[now]+=GetSize(e[now][i].to);
t_vis[now]=false;
return size[now];
}
void GetRoot(int now)
{
t_vis[now]=true;
int t_size=1,OK=true;
for(int i=0;i<int(e[now].size());i++)
if(t_vis[e[now][i].to]==false and vis[e[now][i].to]==false)
{
GetRoot(e[now][i].to);
t_size+=size[e[now][i].to];
if(size[e[now][i].to]>(cnt/2))
OK=false;
}
if(cnt-t_size>(cnt/2))
OK=false;
if(OK==true) root=now;
t_vis[now]=false;
}
int ans=inf,tot[M];
void dfs2(int now,int dis,int t_cnt,int type)
{
t_vis[now]=true;
if(type==1 and K-dis>=0)
ans=min(ans,t_cnt+tot[K-dis]);
if(type==2 and dis<M)
tot[dis]=min(tot[dis],t_cnt);
if(type==3 and dis<M)
tot[dis]=inf;
for(int i=0;i<int(e[now].size());i++)
if(done[e[now][i].to]==true and t_vis[e[now][i].to]==false)
dfs2(e[now][i].to,dis+e[now][i].w,t_cnt+1,type);
t_vis[now]=false;
}
void dfs(int now)
{
vis[now]=true;
vector <road> son;
son.reserve(32);
for(int i=0;i<int(e[now].size());i++)
if(vis[e[now][i].to]==false)
{
cnt=GetSize(e[now][i].to);
GetRoot(e[now][i].to);
dfs(root);
son.push_back(e[now][i]);
}
for(int i=0;i<int(son.size());i++)
dfs2(son[i].to,son[i].w,1,1),dfs2(son[i].to,son[i].w,1,2);
for(int i=0;i<int(son.size());i++)
dfs2(son[i].to,son[i].w,1,3);
done[now]=true;
}
int main()
{
n=read(),K=read();
for(int i=1;i<n;i++)
{
int s=read(),t=read(),w=read();
e[s].push_back(road(t,w));
e[t].push_back(road(s,w));
}
cnt=GetSize(1);
GetRoot(1);
memset(tot,0x3f,sizeof tot);
tot[0]=0;
dfs(root);
if(ans>N) ans=-1;
printf("%d",ans);
return 0;
}
