一种不基于微积分的求多项式函数下面积的方式

本人初三，下面介绍的是一种自己想出来的方法，内容原创，不知道有没有已经成为前人的智慧。

作为一个 OIer，一些证明的过程不会很严谨，请见谅。

描述

对于一个给定的函数 $f(x)=a_0{x}^0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$，求 $l\le x\le r$ 时，函数 $f(x)$ 与 $x$ 轴所夹的面积。

注意这里认为面积有正负性，即在 $x$ 轴上方，函数 $f(x)$ 下方的面积为正，$x$ 轴下方，函数 $f(x)$ 上方的面积为负。

分解

首先先将 $f(x)$ 拆成 $g_0(x)+g_1(x)+g_2(x)+\cdots +g_n(x)$，其中 $g_i(x)=a_i{x}^i$。

那么 $f(x)$ 下的面积也可以拆成 $g_0(x),g_1(x),g_2(x),\dots ,g_n(x)$ 下的面积之和。

于是我们只要能求每个 $g_i(x)$ 下的面积即可。

不妨设 $l\ge 0$（$l<0$ 时同理），在 $l\le x\le r$ 这段区间的面积可以用 $0\le r$ 部分的面积减去 $0\le x\le l$ 部分的面积得到，于是我们只需解决 $0\le x\le r$ 的问题即可。

构造模型

现在我们只需解决这么一个问题：

• 有函数 $f(x)=x^k$，求 $0\le x\le r$ 时 $f(x)$ 下的面积。

考虑当 $x=a$ 时，$f(x)=a^k$，这相当于一个边长为 $a$ 的 $k$ 维立方体的体积，设 $k$ 维的坐标表示为 $(x_0,x_1,x_2,\dots ,x_{k-1})$，那么这个立方体可以表示为 $0\le x_0\le a,0\le x_1\le a,0\le x_2\le a,\dots ,0\le x_{k-1}\le a$。

那么对于 $0\le x\le r$ 这段区间的这些立方体之和可以表示为一个 $k+1$ 维的锥形体 $0\le x_0\le r,0\le x_1\le x_0,0\le x_2\le x_0,\dots 0\le x_k\le x_0$。

那么这个锥形体的体积就是上述提到的 $f(x)$ 下的面积。

求答案

可以构造出 $k+1$ 个等价的锥形体（为了方便书写，以下默认 $x_i\ge 0$）：

• $x_0\le r,x_1\le x_0,x_2\le x_0,\dots ,x_k\le x_0$
• $x_1\le r,x_0<x_1,x_2\le x_1,\dots ,x_k\le x_1$
• $x_2\le r,x_0<x_2,x_1<x_2,\dots ,x_k\le x_2$
• $\dots$
• $x_k\le r,x_0<x_k,x_1<x_k,\dots ,x_{k-1}<x_k$

虽然上述几个锥形体中小于号取等的情况并不相同，但是实际上是一样的，因为两个数取等时这个图形是降维的，它在 $k+1$ 维下的体积为 $0$。

于是上述 $k+1$ 个图形可以拼成高维立方体 $x_0\le r,x_1\le r,x_2\le r,\dots ,x_k\le r$，那么这 $k+1$ 个锥形体的体积总和是 $r^{k+1}$，那么一个锥形体的体积就是 $\frac{r^{k+1}}{k+1}$。

即，$0\le x\le r$ 时，$f(x)=x^k$ 下的面积为 $\frac{r^{k+1}}{k+1}$。

证明

接下来证明上述 $k+1$ 个锥形体和最后那个立方体是相同的：

证明：锥形体中的点都在立方体中

对于任意锥形体，它被表示为 $x_{max}\le r,x_0<x_{max},x_1<x_{max},\dots ,x_k\le x_{max}$ 的形式，那么对于其中每一个点 $(x_0,x_1,x_2,\dots ,x_k)$，这几个坐标中的最大值小于等于 $r$，那么每一维都小于等于 $r$，那么这个点一定在立方体中。

证明：立方体中的点都在锥形体中

对于立方体中任意一个点 $(x_0,x_1,x_2,\dots ,x_k)$，取出其中的最大值 $x_{max}$（若有多个选择下标最小的一个），那么这个点一定在锥形体 $x_{max}\le r,x_0<x_{max},x_1<x_{max},\dots ,x_k\le x_{max}$ 中。

至此，证毕。

结论

对于函数 $f(x)=x^k$，在 $0\le x\le r$ 内，$f(x)$ 下的面积为 $\frac{r^{k+1}}{k+1}$。

对于函数 $f(x)=a_0{x}^0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$，在 $l\le x\le r$ 内，$f(x)$ 下的面积为 $\sum _{i=0}^n{a}_i(\frac{r^{i+1}}{i+1}-\frac{l^{i+1}}{i+1})$。