线性规划问题的几何意义

线性规划问题的几何意义

1. 凸集（凸包）

设 \(S\) 为 \(n\) 维空间一点集，若 \(\forall \mathbf{X_i},\mathbf{X_j} \in S,s.t.\mu \mathbf{X_i}+(1- \mu) \mathbf{X_j} \in S(0 \le \mu \le 1)\)，则称 \(S\) 为凸集（凸包）。

2.线性规划问题的可行域

定义线性规划问题的可行域 \(D=\{ \mathbf{X} | \sum\limits_{j=1}^n \mathbf{P}_j x_j= \mathbf{b},x_j \ge 0 \}\)

定理1.1：若线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸集。

证明：

​ 设 \(\forall \mathbf{X_i},\mathbf{X_j} \in D,\mathbf{X_i}\ne \mathbf{X_j}\)，令 \(\mathbf{X}=\mu \mathbf{X_i}+(1- \mu) \mathbf{X_j}(0 \le \mu \le 1)\)

​ 记 \(\mathbf{X}\) 的每一分量为 \(x_k\)，代入约束条件得

\[\sum\limits_{k=1}^{n} \mathbf{P}_k x_k = \sum\limits_{k=1}^{n} \mathbf{P}_k (\mu x_{i_k}+(1-\mu)x_{j_k}) \\ \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space = \mu \sum\limits_{k=1}^{n} \mathbf{P}_k x_{i_k}+\sum\limits_{k=1}^{n} \mathbf{P}_k x_{j_k}- \mu \sum\limits_{k=1}^{n} \mathbf{P}_k x_{j_k} \\ \space =\mu\mathbf{b}+\mathbf{b}-\mu\mathbf{b}=\mathbf{b} \]

​ \(\therefore \mathbf{X} \in D\)

​ \(\therefore D\) 是凸集

定理1.2： 若线性规划问题可行域存在且有界，则目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。

证明：

假设在 \(\mathbf{X}=\mathbf{u}\) 处取得最优解而其不在 \(D\) 的顶点上。

由定理1.1得，此时必然存在 \(\mathbf{v}\) 和一实数 \(\lambda >0 \space s.t. \mathbf{u}+\lambda \mathbf{v},\mathbf{u}-\lambda \mathbf{v} \in D\)，这相当于把 \(\mathbf{u}\) 在 \(D\) 内任意移动。

当 \(\mathbf{X}= \mathbf{u}\) 时，\(z= \mathbf{Cu}\)；而移动后 \(z'= \mathbf{Cu} \pm \lambda(\mathbf{Cv})\)，显然必有一个 \(z' \ge z\)。重复执行以上步骤，总可以把 \(\mathbf{u}\) 移动至顶点处取得最优。