线性规划的表示形式

标准形式

标准形式的代数表示

\[\max z= \sum\limits_{j=1}^n c_j x_j \\ s.t. \begin{cases} \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_j=b_j,i=1,2,\dots,m \\ x_j \ge 0,j=1,2,\dots,n\end{cases} \]

标准形式的向量矩阵表示

\[\max z=\mathbf{CX}\\s.t.\begin{cases} \sum\limits_{j=1}^n \mathbf{P}_j x_j= \mathbf{b}\\ x_j \ge 0,x_j \ge 0,j=1,2,\dots,n\end{cases} \\ \\ \text{其中} \space \mathbf{C}=(c_1,c_2,\dots,c_n),\mathbf{P}_j \space \text{对应的决策变量是} x_j, \\ \mathbf{X}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}, \mathbf{P}_j=\begin{bmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{mj}\end{bmatrix}, \mathbf{b}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{bmatrix} \]

一般形式

\[\max (\min[1]) z= (w[2])\sum\limits_{j=1}^n c_j x_j \\ s.t. \begin{cases} \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_j=(\ge,\le,>,<[3])b_j,i=1,2,\dots,m \\ x_j \ge 0,some \space of \space j[4]\end{cases} \]

一般形式转化为标准形式

[1]价值函数为min函数的问题

函数两边同时取反，转化到[2]。

[2]价值函数右式存在系数w的问题

将w除进每个价值系数c中。

[3]约束函数不满足相等的问题

以小于等于为例：

假如现在的约束为 \(2x_1+3x_2 \le 45\)

引入一个松弛变量 \(x'\)，将约束转化为 \(2x_1+3x_2+x'=45\)

同时保证 \(x'\ge 0\)

即可完成转化。

[4]部分元不满足非负性的问题

假如 \(x_i\) 为任意实数

引入两个松弛变量 \(x'',x'''\)，将 \(x_i\) 替换为 \(x''-x'''\)

同时保证 \(x'',x''' \ge 0\)

即可完成转化。

松弛形式

通过一般形式转化为标准形式，我们可以推导出另一种类似于标准形式的表示法：松弛形式。

\[\max z= \sum\limits_{j=1}^n c_j x_j \\ s.t. \begin{cases} x_{i+n}=b_i- \sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_j,i=1,2,\dots,m \\ x_j \ge 0,j=1,2,\dots,n+m\end{cases} \]

我们把等式约束左侧的所有变量称为基变量，右侧的所有变量称为非基变量。