简单分块 学习笔记
$$····案外寂しいものだな····$$
- ACW243 一个简单的整数问题2
题意：区间加区间和
以此为例讲解块状数组基本的操作。
声明变量、标记：
数组长度 \(n\)，原数组 \(a\)，块长 \(bl\)，块数 \(tot\)，第 \(i\) 个块的左右端点 \(L_i,R_i\)，区间和标记 \(sum\)，区间加懒标记 \(tag\)，第 \(i\) 个数所属块的下标 \(col_i\)。
1. 初始化
变量：
一般块长取 \(\sqrt n\)；
所以块数就是 \(\lceil \frac{n}{bl} \rceil\)；
块的左右端点观察一下就发现有式子：\(L_i=(i-1) \times bl+1,R_i=i \times bl\)。特别地，对于最后一个块（不管整还是零散），都有 \(R_{tot}=n\)；
每个点所属的块也是易得的：\(col_i=(i-1)/bl+1\)。
标记：
只需要把 \(sum\) 对应的 \(a\) 值加起来就行了。
\(tag\) 一开始自然是 0.
void init(){
long long i;
bl=sqrt(n);
tot=n/bl;
if(n%bl) tot++;
for(i=1;i<=tot;i++){
L[i]=(i-1)*bl+1;
R[i]=i*bl;
}
R[tot]=n;
for(i=1;i<=n;i++) col[i]=(i-1)/bl+1;
for(i=1;i<=n;i++) sum[col[i]]+=a[i];
}
2.区间加
假设对 \([x,y]\) 区间加 \(w\)。
首先特判 \(x\) 和 \(y\) 在同一个块里，视作一个散块暴力处理即可。
否则对左右两侧的零散块暴力处理，对中间的整块更改其标记。
void upd(long long x,long long y,long long w){
long long i;
if(col[x]==col[y]){
for(i=x;i<=y;i++){
a[i]+=w;sum[col[x]]+=w;
}
return;
}
for(i=x;i<=R[col[x]];i++){
a[i]+=w;sum[col[x]]+=w;
}
for(i=L[col[y]];i<=y;i++){
a[i]+=w;sum[col[y]]+=w;
}
for(i=col[x]+1;i<=col[y]-1;i++){
tag[i]+=w;sum[i]+=bl*w;//tag针对于零散块的求和（在算零散块的时候有用），sum针对于整块的求和，所以这里都得改
}
}
3.区间和
假设对 \([x,y]\) 求区间和。
同理，还是要先特判 \(x\) 和 \(y\) 在同一个块里，暴力加起来即可。加的是 \(a\) 和 \(tag\)。
否则，散块暴力（加的是 \(a\) 和 \(tag\)），整块直接加 \(sum\)。
long long query(long long x,long long y){
long long i,res=0;
if(col[x]==col[y]){
for(i=x;i<=y;i++){
res+=a[i]+tag[col[x]];
}
return res;
}
for(i=x;i<=R[col[x]];i++){
res+=a[i]+tag[col[x]];
}
for(i=L[col[y]];i<=y;i++){
res+=a[i]+tag[col[y]];
}
for(i=col[x]+1;i<=col[y]-1;i++){
res+=sum[i];
}
return res;
}
至此我们就解决了本题：code
- P2801 教主的魔法
题意：区间加区间rank
以此为例说明块内二分。
区间加和上例基本相同，还是打标记。转化是查一段区间改完后有多少数 \(\ge k\) 就等于查原来这些数有多少 \(\ge k-addtag\).
考虑区间rank：
我们复制原数组，并将其按块从小到大排序，记作 \(b\)。
这样，我们就可以在整块里根据 \(b\) 进行二分，而散块直接暴力完事。
