[安乐椅#16] 常见排列组合恒等式

基本公式

1. \(C_n^m=C_n^{n-m}\)

2. \(C^m_n=\frac{n}{m}C^{m-1}_{n-1}\)

3. \(C^m_n=\dfrac{A_n^m}{A^m_m}\)

换底公式

1. \(A^m_{n+1}=A^m_n+mA^{m-1}_n\)

2. \(C^m_{n+1}=C^m_n+C^{m-1}_n\)

3. \(C_{n+1}^{m+1}=C_m^m+C_{m+1}^m+\cdots+C_n^m\)

证明：

\(RHS=(C_{m+1}^{m+1}+C_{m+1}^m)+C_{m+2}^m+\cdots+C_n^m\)
\(\space\space\space\space\space\space\space\space\space=(C_{m+2}^{m+1}+C^m_{m+2})+C_{m+3}^m+\cdots+C_n^m\)
\(\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\vdots\)
\(\space\space\space\space\space\space\space\space\space=C_n^{m+1}+C_n^m=LHS\)
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二项式定理及其推论

• \((a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k\)

1. \(C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n=2^n\)

2. \(C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\cdots+nC_n^n=n2^{n-1}\)

证明：

由\((1+x)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+C_n^3x^3+\cdots+C_n^nx^n\)
两边同时求导得 \(n(1+x)^{n-1}=C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3x^2+\cdots+nC_n^nx^{n-1}\)
代入 \(x=1\) 得\(C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\cdots+nC_n^n=n2^{n-1}\)
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