[安乐椅#4] 拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法可以用于求函数最值，其在目标函数和约束函数比较简单（如多项式函数）时有奇效。但应当注意的是，拉格朗日乘数法好解的题一般不等式或者函数法也很好解，做题时应当将拉格朗日乘数法作为最后底牌，不要轻易使用，先想想有没有更好算的做法。

以二元函数最值为例：

欲求 \(f(x,y)\) 的最值，有约束条件 \(\varphi(x,y)=0\)。构造拉格朗日函数 \(F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)\)，对其求各方向的一阶偏导（对函数求谁方向的偏导可以理解为主元谁后求导），令其均等于 0。则方程组的解就是 \(f(x,y)\) 可能的极值点。

即求解方程组

\[\begin{cases} F_{x}^\prime(x,y)=f_{x}^\prime(x,y)+\lambda\varphi_{x}^\prime(x,y)=0 \\ F_{y}^\prime(x,y)=f_{y}^\prime(x,y)+\lambda\varphi_{y}^\prime(x,y)=0 \\ F_{\lambda}^\prime(x,y)=\varphi(x,y)=0\end{cases} \]

解出的 \(x,y\) 回代入 \(f(x,y)\) 即可取得其一个极值。

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例：已知椭圆 \(E:3x^2+4y^2-12=0, P \in E\)，求 \(|OP|_{\min}\)。

解：

由题意得：\(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)，但是没有必要带着根号，为了计算简便，改为 \(f(x,y)=x^2+y^2\)，而显然 \(\varphi(x,y)=3x^2+4y^2-12\)。所以最终构造出的 \(F(x,y)=x^2+y^2+\lambda(3x^2+4y^2-12)\)。

求偏导得 \(\begin{cases} F_{x}^\prime(x,y)=2x+6\lambda x=0 \space ①\\ F_{y}^\prime(x,y)=2y+8\lambda y=0 \space ②\\ F_{\lambda}^\prime(x,y)=3x^2+4y^2-12=0 \space ③\end{cases}\)

接下来的问题是这个方程怎么求解。

注意 ①②，保证了 \(x,y\) 至少有一个为 0，否则两边同时消去 \(x\) 或 \(y\)，解得 \(\lambda=-3\) 且 \(\lambda=-4\)，矛盾。

所以讨论 \(x=0\) 或 \(y=0\)，得到两个极值点 \((0,\pm\sqrt{3}),(\mp2,0)\)，发现它们正好两个最大值两个最小值。回代即得出 \(|OP|_{\min}=\sqrt{3}\)。