[安乐椅#11] 常见函数放缩
1. 关于 \(y=e^x\)
(1) 切线放缩
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\(e^x \ge x+1\)
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\(e^x \ge ex\)
(2) 多项式放缩
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\(e^x \ge 1+x+\frac{1}{2}x^2,x \ge 0\)\(^*\)
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\(e^x \ge ex+(x-1)^2,x\ge 1\)
(3) 分式放缩
- \(e^x \le \dfrac{1}{1-x},0 \le x <1\)
2. 关于 \(y=\ln x\)
(1) 切线放缩
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\(\ln x \le x-1\)
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\(\ln x \le \dfrac{x}{e}\)
(2) 分式放缩
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\(\ln x \ge 1- \dfrac{1}{x} ,x>0\)
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\(\dfrac{2(x-1)}{x+1} \le \ln x \le \sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}},x \ge 1\)
(3) ALG不等式
- \(\forall x_1,x_2 \in \mathbb{R}^+,x_1 \ne x_2, \sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}<\dfrac{x_1+x_2}{2}\)
证明（比值代换法）： 以 \(\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}<\dfrac{x_1+x_2}{2}\) 为例
不妨设 \(x_1<x_2\)
原式 \(\Leftrightarrow \dfrac{x_1-x_2}{x_1+x_2}<\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{2}\)
\(\space\space\space\space\space\space\Leftrightarrow \dfrac{\frac{x_1}{x_2}-1}{\frac{x_1}{x_2}+1}<\dfrac{\ln \frac{x_1}{x_2}}{2}\)
令 \(t=\frac{x_1}{x_2}\)
原式 \(\Leftrightarrow \dfrac{t-1}{t+1}<\dfrac{\ln t}{2}\)
显然 \(t>1\)。问题转化为分式放缩中的式子，直接做差求导即可。
3. 关于三角函数
(1) 泰勒展开\(^*\)
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\(\sin x \le x, x\ge 0\)
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\(\cos x \ge 1-\dfrac{x^2}{2}, x \ge 0\)
(2) 公切线放缩
- \(\cos x \le 1- \dfrac{x^2}{4}, 0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}\)
(3) 切线放缩
- \(\sin x<x<\tan x,0<x<\dfrac{\pi}{2}\)
(4) 割线放缩
- \(\dfrac{\sin x}{x} \ge \dfrac{2}{\pi}, 0<x\le \dfrac{\pi}{2}\)
