[安乐椅#14] 全错排问题
问题描述：有 \(n\) 个球，\(n\) 个箱子。一个箱子恰放入一个球，第 \(i\) 号球不能放到第 \(i\) 号箱子中。求方案数。
以下记 \(D_n\) 表示元素数为 \(n\) 的错排方案数，\(p \nsim q\) 表示 \(p\) 号球与 \(q\) 号箱子存在互斥关系。
易知：\(D_1=0,D_2=1\)
对于 \(D_n (n\ge 3)\)：
-
令将 \(n\) 号球 放入了 \(k\) 号箱子。
考虑 \(k\) 号球与 \(n\) 号箱子之间的关系：-
\(k\) 号球放入了 \(n\) 号箱子。
则问题转化为 \(n-2\) 个球和 \(k-2\) 个箱子之间的错排，方案数为 \(D_{n-2}\)
-
\(k\) 号球没有放入 \(n\) 号箱子。
相当于添加一个 \(k \nsim n\) 的条件，问题转化为 \(n-1\) 个球和 \(k-1\) 个箱子之间的错排，方案数为 \(D_{n-1}\)
-
而 \(k\) 可以取 \(1\) 至 \(n-1\) 之间的任何数，故得到递推公式：
\[D_1=0,D_2=1
\]
\[D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}),n\ge 3
\]
全错排问题还有一个通项公式：
\[D_n=n! ( \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+ (-1)^n\frac{1}{n!} )
\]
