[安乐椅#1] 卡尔松不等式
内容
在 \(m \times n\) 的非负实数矩阵
\[A=\left[ \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\ {\dots} & {\dots} & {\dots} & {\dots} \\ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\cdots} & {a_{m n}}\end{array}\right]\\
\]
中，\(n\) 列每列元素之和的几何平均值不小于矩阵中 \(m\) 行每行元素的几何平均值之和：
\[\sum\limits_{i=1}^{m}(\prod\limits_{j=1}^{n}a_{ij})^{\frac{1}{n}} \le (\prod\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{m}a_{ij})^{\frac{1}{n}}
\]
即，
\[\sqrt[n]{a_{11} a_{12} \cdots a_{1 n}}+\sqrt[n]{a_{21} a_{22} \cdots a_{2 n}}+\dots+\sqrt[n]{a_{m 1} a_{m 2} \cdots a_{m n}} \leq \sqrt[n]{(a_{11}+a_{21}+\cdots+a_{m 1})(a_{12}+a_{22}+\cdots+a_{m 2}) \cdots(a_{1 n}+a_{2 n}+\cdots+a_{m n})}
\]
当且仅当至少一列完全为 0 或所有的行中的数成比例取得等号。
证明
记 \(A_j=\sum\limits_{i=1}^{m}a_{ij}\)，
若 \(\exists A_j=0\)，则原不等式显然成立，故以下只讨论 \(\forall A_j \ne 0\) 的情况：
根据均值不等式得
\[\dfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\dfrac{a_{1j}}{A_j} \ge (\prod\limits_{j=1}^{n}\dfrac{a_{1j}}{A_j})^{\frac{1}{n}}
\]
\[\dfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\dfrac{a_{2j}}{A_j} \ge (\prod\limits_{j=1}^{n}\dfrac{a_{2j}}{A_j})^{\frac{1}{n}}
\]
\[\vdots
\]
\[\dfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\dfrac{a_{mj}}{A_j} \ge (\prod\limits_{j=1}^{n}\dfrac{a_{mj}}{A_j})^{\frac{1}{n}}
\]
将这 \(m\) 个不等式叠加得
\[1 \ge \sum\limits_{i=1}^{m}(\prod\limits_{j=1}^{n}\dfrac{a_{mj}}{A_j})^{\frac{1}{n}}
\]
将分母移到不等式左侧，得
\[\prod\limits_{j=1}^{n}A_j \ge \sum\limits_{i=1}^{m}(\prod\limits_{j=1}^{n} a_{mj})^{\frac{1}{n}}
\]
上式即为卡尔松不等式的形式，证毕。
与其他不等式的关系
\(n=2\) 的卡尔松不等式是柯西不等式。取全部 \(\omega = \frac{1}{n}\) 的赫尔德不等式是卡尔松不等式。
