Gokix

一言（ヒトコト）

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泰勒公式

Taylor 公式

带 Peano 余项的 Taylor 公式

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处 \(n\) 阶可导，则在 \(x_0\) 的一个邻域中，对于该邻域中的 \(\forall x\) 成立：

\[f(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \dots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n) \]

带 Lagrange 余项的 Taylor 公式

设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上 \(n\) 阶可导，在 \((a,b)\) 上 \(n+1\) 阶可导，\(x_0\) 为 \([a,b]\) 中一定点，则对于 \(\forall x \in [a,b]\)，成立：

\[f(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \dots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \]

其中 \(\xi\) 在 \(x_0\) 与 \(x\) 之间。

常见函数的 Maclaurin 公式

  • \(e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dots + \dfrac{x^n}{n!}+o(x^n)\)

  • \(\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \dots + (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})\)

  • \(\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \dots + (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})\)

  • \(\arctan x = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + \dots + (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+2})\)

  • \(\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \dots + (-1)^{n-1} \dfrac{x^n}{n} + o(x^n)\)

  • \((1+x)^{\alpha} = C_{\alpha}^{0} + C_{\alpha}^{1}x + C_{\alpha}^{2}x^2 + C_{\alpha}^{3}x^3 + \dots + C_{\alpha}^{n}x^n + o(x^n)\)

  • \(\dfrac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + o(x^n)\)

  • \(\sqrt{1+x} = 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2 \times 4}x^2 + \dfrac{1 \times 3}{2 \times 4 \times 6}x^3 + \dots + (-1)^{n-1}\dfrac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^{n} + o(x^n)\)

  • \(\dfrac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1 \times 3}{2 \times 4}x^2 - \dfrac{1 \times 3 \times 5}{2 \times 4 \times 6}x^3 + \dots + (-1)^{n}\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{n} + o(x^n)\)

posted @ 2024-11-28 14:43  Gokix  阅读(7)  评论(0)  编辑  收藏  举报