摘要： ## 特殊角三角函数值 $\sin{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \space\space\space\space\space\space\space\space \cos{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \space\space\space\space\space\space\space\space \tan{\dfrac{\pi}{12}}=2-\sqrt{3}$ 阅读全文

摘要： 1. **用 $6$ 种不同的颜色对正四棱锥 $P-ABCD$ 的 $8$ 条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有 ________ 种.** ![image](https://img2023.cnblogs.com/blog/2866421/202307/2866421-20 阅读全文

摘要： ## 自对称&互对称 ### 自对称 - $f(a+mx)=f(b-mx) \Leftrightarrow y=f(x)$ 的图像关于直线 $x= \dfrac{a+b}{2}$ 对称 $(m \ne 0)$. 操作方法：将括号内两式取中点可得对称轴，即 $\dfrac{a+mx+b-mx}{2}= 阅读全文

摘要： 基本公式 $C_n^m=C_n^{n-m}$ $C^m_n=\frac{n}{m}C^{m-1}_{n-1}$ $C^m_n=\dfrac{A_n^m}{A^m_m}$ 换底公式 $A^m_{n+1}=A^m_n+mA^{m-1}_n$ $C^m_{n+1}=C^m_n+C^{m-1}_n$ $C_ 阅读全文

摘要： 性质内容 杨辉三角中，质数仅存在于第2层. 性质证明 一步转化：杨辉三角第 $n$ 行 $m$ 列的数为 $C_n^m$。原命题转化为 $C_n^m$ 仅当 $m=1$ 或 $n-1$ 时为质数。 对于 $C_n^m,m \in [2,n-2],m\in \mathbf{N}$ 由单调性知 $C_n 阅读全文

摘要： 问题描述：有 $n$ 个球，$n$ 个箱子。一个箱子恰放入一个球，第 $i$ 号球不能放到第 $i$ 号箱子中。求方案数。 以下记 $D_n$ 表示元素数为 $n$ 的错排方案数，$p \nsim q$ 表示 $p$ 号球与 $q$ 号箱子存在互斥关系。 易知：$D_1=0,D_2=1$ 对于 $D 阅读全文

摘要： ## Skull 整理 - [导数重要内容梳理](https://www.cnblogs.com/Cybersites/p/17170381.html) - [数列知识总结梳理](https://www.cnblogs.com/Cybersites/p/16966640.html) - [圆锥曲线基 阅读全文

摘要： 泰勒展开 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的泰勒展开： $$f(x)\thickapprox \sum \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,x\ge x_0$$ 取 $x_0=0$，即得出 $f(x)$ 的麦克劳林展开： $$f(x)\thickapprox \s 阅读全文

摘要： 性质： 若 $f(x)$ 为单峰函数，对于 $\forall x \in I,f^{\prime\prime\prime}(x)>0$，且 $f(x)$ 存在两变号零点 $x_1,x_2$，则 $f^\prime (\frac{x_1+x_2}{2})<0$ 证明： 记 $m=x_1+x_2$，不妨 阅读全文

摘要： $ ζ \space τ \space η$ 阅读全文

摘要： 1. 关于 $y=e^x$ (1) 切线放缩 $e^x \ge x+1$ $e^x \ge ex$ (2) 多项式放缩 $e^x \ge 1+x+\frac{1}{2}x^2,x \ge 0$$^*$ $e^x \ge ex+(x-1)^2,x\ge 1$ (3) 分式放缩 $e^x \le \df 阅读全文

摘要： 1. $f(x)=xe^x$ 定义域 $\mathbf{R}$ 单增区间 $(-1,+\infty]$，单减区间 $[-\infty,-1)$. 极（最）小值点 $(-1,-\dfrac{1}{e})$ 2. $f(x)=x\operatorname{ln}x$ 定义域 $\mathbf{R}^+$ 阅读全文

摘要： by Skull & S. & Fred & Gokix 一. 手电筒反射面与二元抛物面 前置知识：二元抛物面。 二元抛物面的解析式为：$2pz=x^2+y^2$。其相当于一条抛物线绕其对称轴旋转一周后形成的图形。相应的，其有一条性质：任意过二元抛物面对称轴的平面与二元抛物面的交线是抛物线。 如图为 阅读全文

摘要： 1. 根式裂项 $\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ 2. 分数裂项 $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ 3. 三元分数裂项 $\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} 阅读全文