迷宫（随机变量）

今天随机过程的课堂上，老师讲了一个运用“离散型全期望公式”的很好的例子，在此总结如下：

问题：该迷宫假设有四条路，如图。某人在五角星处，他走每一条路需要时间不同（单程），时间如图。只有一条路可以走出迷宫（图中正上方那条路）。假设这个人方向感很差，每次选择可能包含四种可能（即使刚走过的路也可能被选择）。计算该人平均走出迷宫的时间。我们可以设走每条路的时间为随机变量T，由于每次都可能选择死路，我们无法直接求其期望。

 

 

于是，我们可以再设一个随机变量X，表示该人选择了哪一条路。我们将图中四条路分别标为1、2、3、4,如图。

现在我们来求E(T)，由随机变量的条件数学期望的性质，我们可以得到E(T) = E[E(T|X) ]  。有离散型全期望公式，我们可以得到：

E[E(T|X) ] = ∑ E(T|X = x) P{X = x}

　　　　   = P{X = 1} E(T|x = 1) + P{X = 2} E(T|x = 2) + P{X = 3} E(T|x = 3) + P{X = 4} E(T|x = 4)

每次选路等概，即1/4.于是我们得到：

上式 = 1/4 {E(T|x = 1) + E(T|x = 2）+ E(T|x = 3) + E(T|x = 4)}

由于第2、3、4号路，走到死路后要返回五角星，需要再次选路。故，可得：

上式 = 1/4 (T1 + 2*T2 + E(T) + 2*T3 + E(T) + 2*T4 + E(T))

相当于选择2号路只是增加了一个来回T2的时间，其他路相同。于是我们得到最后结果：

E(T) = 1/4 (T1 + 2*T2 + E(T) + 2*T3 + E(T) + 2*T4 + E(T))

E(T) = T1 + 2*T2 + 2*T3 + 2*T4

通过这道题，我们可以总结其思想。当一个随机变量无法解题时，可以选择考虑再设一个随机变量换角度思考。离散型全期望公式是个很重要的公式，在工程应用上也有很大的作用。