ARC062F - Painting Graphs with AtCoDeer

根据 Polya 定理，答案为：

\[|X / G| = \frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G} |B| ^ {c(g)} \]

只需要求出置换的个数和所有置换的贡献和即可。

首先不难发现要按照点双分类，每个点双对置换个数和置换贡献都是独立的，有如下观察：

• 若点双只有两个点，置换只有 \(1\) 个，贡献和为 \(k\)
• 若点双只有一个简单环构成（大小为 \(L\)），置换有 \(L\) 个，贡献为：\(\sum\limits_{i = 1} ^ L L ^ {(L, i)}\)
• 剩下的情况，可以猜测可以构成点双内边（记为 \(E\)）的任意置换，那么置换有 \(E!\) 个，贡献为 \(\binom{E + k - 1}{k - 1}E!\)

前两点都是容易证明的，考虑证明第三点，即点双内存在环有边相交，不妨来试着任意两条边是否能在其他边不动的情况下交换。

首先注意到只有两个环相交的时候也满足观察三，那么我们只需要考虑保留两个这样的简单环即可。

此时我们发现，两个有边相交的简单环的三度点上的两条临边一定可以交换，交换方式如下图所示：

然后对与任意两条边，一定可以存在一种方式将两条边移动到这样三度点的两条邻边位置（不需要保证其他边不变），然后用上面的方法交换三度点的两条邻边，最后按照原来的顺序逆序操作即可交换任意两条边，这样原命题显然成立。

然后问题就变成了找每个点双内部的边数了，可以在求点双的过程当中维护每个点的当前度数，就只需要查询点双顶点和其他边之间的边数了，复杂度 \(\mathcal{O}(n)\).