ABC220H - Security Camera

考虑折半，将点按照标号是否 \(\le \frac{n}{2}\) 分成两个集合 \(S_1, S_2\)。

首先原问题的形式有点奇怪，我们不妨统计没有被覆盖覆盖的边为偶数条的情况。

这样一来问题转化为白点 导出子图 的边数为偶数的情况，这与原问题等价。

考虑 \(S_1, S_2\) 中怎样的两个集合合并是合法的，形式化地，有：

令 \(f_S(S \subseteq S_1)\) 为 \(S\) 这个集合导出子图边数的奇偶性，类似地定义 \(g_T(T \subseteq S_2)\)，同时令 \(E_{S, T}(S \subseteq S_1, T \subseteq S_2)\) 为左部集合 \(S\) 到右部集合 \(T\) 的边数奇偶性，那么 \(S, T\) 合并合法当且仅当：

\[f_S \oplus E_{S, T} \oplus g_T = 0 \]

直接这样判定很没有前途，因为 \(E\) 的总量已经达到了 \(2 ^ n\) 级别，因此考虑转移判定方式。

令 \(p_S(S \subseteq S_1)\) 为 \(S_2\) 中与 \(S\) 连边为奇数的点构成的点集，那么判定条件可以改写为：

\[f_S \oplus ((p_S \& T) \& 1) \oplus g_T = 0 \]

注意到中间部分很特殊，于是我们考虑固定中间部分，统计：

\[h_Q = \sum\limits_{p_S \& T = Q} f_S \oplus g_T \]

即可 \(\mathcal{O}(2 ^ {n / 2})\) 计算答案。

注意到上式形式与与卷积非常类似，考虑将其转化为与卷积的形式。

枚举 \(f_S = pf, g_T = pg\)，令 \(vf_Q = \sum\limits_{p_S = Q} [f_S = pf], vg_Q = [g_Q = pg]\)，那么有 \(f_S = pf, g_T = pg\) 时对 \(h\) 的贡献：

\[h_Q = \sum\limits_{S \& T = Q} vf_S \times vg_T \]

直接做与卷积即可，复杂度 \(\mathcal{O}(n2 ^ {n / 2})\)。