二分图相关

定义

我们称一张无向图 \(S\) 为二分图当且仅当可以将 \(S\) 划分为两个集合 \(A, B\) 使得 \(S\) 中的边仅存在于 \(A, B\) 之间。

判定

不难发现定义等价于原图不存在奇环，可以使用黑白染色简单判定。

性质

• 二分图最大匹配 \(=\) 二分图最小点覆盖

证明：后者为边权为 \(1\) 的最小标顶和，由线性规划那一套理论，两者互为对偶问题。

• 二分图最大独立集 \(= n -\) 二分图最大匹配

证明：可以发现二分图的任意一个点覆盖的补集即为一个独立集，因此独立集与点覆盖构成双射。所以有二分图最大独立集 \(= n -\) 二分图最小点覆盖显然成立，由性质一立得。

• 二分图最大独立集 \(=\) 二分图最小边覆盖

证明：令前者为 \(p\) 后者为 \(q\)，分两个方面证明这个结论：\(q \ge p\) 且 \(q = p\) 可以取到。

先考虑前者：显然最大独立集之间互相不存在边，因此想要使用边覆盖最大独立集显然至少需要 \(p\) 条边，因此 \(q \ge p\)。

再考虑后者：考虑一个最大匹配，由性质二可知为 \(n - p\)。我们选择最大匹配当中的边覆盖最大匹配中的点，剩下的点随意覆盖，可以得到：\(q' = n - p + n - 2(n - p) = p\)。