【清华集训 2014】主旋律

考虑容斥，统计不为强连通图的子图数量。

同时考虑 \(\tt DP\)，令 \(g_S\) 表示 \(S\) 这个子集的导出子图的子图构成强连通图的方案。

朴素的转移想法是暴力集合划分 \(S\) 中的点（至少划分成两个集合），每个点集内部构成强连通图，整体缩点后跑有向图子图 \(\tt DAG\) 数即可。

这样显然复杂度爆炸，无法通过本题。

常见的想法是将两个部分和为一体，回忆有向图子图 \(\tt DAG\) 数的做法，令 \(f_S\) 为点集 \(S\) 的导出子图的子图 \(\tt DAG\) 数，有转移：

\[f_S = \sum\limits_{T \subseteq S, T \ne \varnothing} (-1) ^ {|T| - 1} \times 2 ^ {ways(T, S - T)} \times f_{S - T} \]

由此我们只需直到选出 \(T\) 构成若干个强连通分量的贡献和即可，而不需要直到具体的强连通分量划分，令这个量为 \(h_T\)。

\(h_0 = -1\)，有转移：

\[h_S = -\sum\limits_{T \subseteq S, T \ne \varnothing} g_T \times h_{S - T} \]

但由于集合是无标号的，因此这样会记重，常见的想法是每次钦定 \(S\) 中最后一个数（取 \(\tt lowbit\)）在 \(T\) 中即可。

此时我们直接改写 \(f_S\) 的状态，表示点集 \(S\) 的导出子图的子图不构成强连通分量的方案，那么有转移：

\[f_S = \sum\limits_{T \subseteq S, T \ne \varnothing} h_T \times 2 ^ {ways(T, S - T)} \times 2 ^ {ways(S - T, S - T)} \]

显然有 \(g_S = 2 ^ {ways(S, S)} - f_S\)。

注意以下转移的顺序，我们先转移 \(h\)，但不转移 \(S \rightarrow S\)，这样可以保证 \(f\) 不出现仅由单个强连通分量组成的情况。

转移完 \(f\) 后我们再转移 \(h\) 中单个强连通分量的情况。

复杂度 \(\mathcal{O}(3 ^ n)\)。