后缀数组入门
由于后缀数组大多数可以被 后缀树 / 后缀自动机 所替代，因此这里涉及到的后缀数组的知识较浅。
定义
字符串 \(S\)，定义其后缀数组 \(sa\) 为将所有后缀按照字典序排序后的开头下标构成的数组。
相应地，定义 \(rk_i\) 为后缀 \(S_{i, n}\) 在后缀数组当中的排名。
求解
同样考虑使用增量法。
但由于要求出所有后缀按照字典序排序后的数组，我们考虑对每一个后缀都进行增量。
具体地，假设当前已经获得了所有后缀前 \(i\) 个字符构成的后缀子串的后缀数组，记作 \(sa_{i, 1 \sim n}\)，要得到 \(sa_{i + 1, 1 \sim n}\)。
那么我们可以按照 \(sa_{i, 1 \sim n}\) 为第一关键字，每个后缀的第 \(i + 1\) 个位置上的字符为第二关键字进行排序。
可以发现这样复杂度是 \(\mathcal{O(n ^ 2\log n)}\) 的，并不优秀。
但可以发现每次我们可以不只增加一个字符进去比较，而是可以再增加长度为 \(i\) 的字符比较。
也就是说，我们将每个后缀按照 \(sa_{i, j}\) 为第一关键字比较，\(sa_{i, j + i}\) 为第二关键字比较进行排序。
不难发现这样是倍增进行计算的，复杂度降至 \(\mathcal{O(n \log ^ 2n)}\)。
事实上，我们发现 \(sa\) 数组的值域是 \(\mathcal{O(n)}\) 的，于是可以直接进行基数排序，复杂度又可降至 \(\mathcal{O(n \log n)}\)。
基础应用
寻找最小的循环移动位置
例题：「JSOI2007」字符加密。
直接将原串复制一遍接到原串的后面，问题即变为后缀排序问题。
在字符串中找子串
- 开始给定文本串，在线输入所有模式串，求模式串在文本串当中的出现次数，保证所有字符串串长 \(\le 5 \times 10 ^ 5\)。
对文本串建出后缀数组，文本串如果出现一定为某个后缀的一个前缀。
因此在后缀数组 \(sa\) 中，文本串出现的位置一定是一段区间。
我们二分得到这个区间的左右端点，\(check\) 直接暴力求两个串的 \(\rm LCP\) 即可。
复杂度 \(\mathcal{O}(|S| \log |S| + \sum |T| \log |S|)\)。
从字符串首尾取字符最小化字典序
考虑模拟这个流程，假设当前选取到了区间 \([l, r]\)。
那么我们比较 \(S_{l, r}\) 及其反串字典序，若前者大则移 \(l\) 否则移 \(r\)，这样显然不劣。
于是问题就变为一个子串及其反串的字典序比较问题，我们将其放缩为 \(S_{l, n}\) 这个后缀和 \(S_{1, r}\) 这个前缀的反串的字典序比较问题。
这样就非常简单了，我们将原串的反串加到原串后面，于是就变为了后缀排序问题。
复杂度 \(\mathcal{O(n \log n)}\)。
height 数组
定义
我们定义 \(height_i = \mathrm{LCP}(sa_{i - 1}, sa_i)\)，特别地：\(height_1 = 0\)。
求解
我们给出如下事实：
- \(height_{rk_i} \ge height_{rk_{i - 1}} - 1\)
反证法。
若不成立则 \(sa_{rk_{i - 1} - 1}\) 比 \(sa_{rk_i - 1}\) 更靠近 \(sa_{rk_i}\)，注意一些细节即可。
由此，我们直接按照 \(1 \sim n\) 的顺序暴力依次求出 \(height_{rk_i}\)，每次的初始答案置为下界即可。
容易得知这样的复杂度为 \(\mathcal{O(n)}\)。
应用
两个后缀的最长公共前缀
同样有如下事实：
- \(\mathrm{LCP}(sa_i, sa_j) = \min\limits_{k = i + 1} ^ j height_k\)
我们考虑将所有的后缀插入到一颗 \(\tt trie\) 树当中。
那么两个后缀的 \(\rm LCP\) 即为其在 \(\tt trie\) 树上的终止节点的 \(\rm LCA\) 的深度。
考虑确定 \(\rm LCA\) 的点对为 \(x\) 的方法，实际上后缀排序就相当于在 \(\tt trie\) 树上的 \(dfs\) 序，两者就建立起了练习。
由此，我们可以使用 \(\rm ST\) 表优化到 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 预处理，\(\mathcal{O(1)}\) 查询。
比较一个字符串的两个子串的大小关系
假设两个子串分别为 \([l_1, r_1], [l_2, r_2]\)。
首先求后缀 \(S_{l_1, n}, S_{l_2, n}\) 的 \(\mathrm{LCP} = x\)，若 \(x\) 超过了两者串长的较小值，那么按照长度为关键字比较，否则比较 \(x\) 的下一位即可。
不同子串的数目
考虑容斥，计算重复出现的子串数目之和。
我们按照子串出现的时间顺序定义子串是否重复，更进一步地，我们将后缀排序后的第 \(i\) 个后缀的前缀出现时间设为 \(i\)。
那么第 \(i\) 个后缀重复出现的前缀个数为 \(height_i\)，因此重复的子串数目之和为：
出现至少 k 次的子串的最大长度
假设字符串 \(T\) 在 \(S\) 中出现了，那么出现的位置必定为若干个后缀的前缀。
因此我们可以考虑 \(T\) 在 \(S\) 的所有后缀当中是否出现，进一步地，我们发现其一定出现在后缀数组的一个区间。
又我们只关心答案的最大长度，因此不在乎具体为哪个子串。
那么如果存在一个长度为 \(x\) 的子串出现了 \(k\) 次，那么后缀数组上一定存在一个长度为 \(k\) 的区间使得区间内任意两个后缀的 \(\rm LCP\) 长度均不小于 \(x\)。
换句话说，即存在一个长度为 \(k - 1\) 的区间使得该区间内的 \(height\) 数组的最小值 \(\ge x\)。
又如果一个长为 \(x\) 子串出现了至少 \(k\) 次，那么一定存在长为 \(1 \sim x - 1\) 的子串出现了至少 \(k\) 次。
因此原问题转化为求 \(height\) 数组中所有长度为 \(k - 1\) 的区间的最小值的最大值。
不难发现这就是滑动窗口，可以直接做了。
询问最长的子串使得其在文本串中至少不重叠地出现了两次
二分答案 \(mid\)。
我们枚举其在第二次出现的开头位置 \(x\)，相当于询问是否存在一个位置 \(y\) 满足 \(y \le x - mid\) 使得 \(S_{x, n}, S_{y, n}\) 的 \(\rm LCP\) 长度不小于 \(mid\)。
我们先限制与 \(x, \rm LCP\) 长不小于 \(mid\) 的字符串在后缀数组上对应的区间 \([l, r]\)。
问题转化为询问 \([l, r]\) 内是否存在一个点使得其下标不大于 \(x - mid\)，不难发现直接维护区间最小值即可。
使用 \(\rm ST\) 表可做到 \(\mathcal{O(n \log n)}\)。
结合并查集
这类问题通常要求在两个后缀的 \(\rm LCP\) 大于某个值的情况下求若干信息。
因此可以按照 \(height\) 数组进行排序，将不小于某个值的 \(height\) 连接的相邻两个节点连边，那么此时构成的连通块内任意两个后缀之间的 \(\rm LCP\) 均不小于 \(x\)。
结合线段树
具体问题具体分析。
结合单调栈
类似「结合并查集」，通过单调栈求出每个 \(height\) 管辖的最小值区间，从而将所有后缀点对按照 \(\rm LCP\) 长度划分成 \(n\) 个区间，这样就可以来求解题目要求的信息了。
