[Ynoi2017]由乃的OJ

可以发现因为运算只有位运算，因此每一位是互不影响的，因此我们可以将每一位拉出来单独考虑。你会发现对于每一位而言，不论在何时都只有两种取值，并且一旦我们知道了这一位进入这条链的取值，最后出来的答案也是确定的。因此我们可以考虑直接维护出 \(0 / 1\) 进入这段链的取值，这个我们可以直接通过 \(LCT\) 来维护。具体来讲，对于 \(Splay\) 上的每个节点 \(i\) 维护出 \(l_i, r_i\)，分别表示以 \(0 / 1\) 进入以 \(i\) 为根的 \(\rm Splay\) 中的点组成的链（从深度浅的点到深度深的点），那么就有合并（令 \(f_{i, 0}, f_{i, 1}\) 分别表示以 \(0 / 1\) 进入 \(i\) 的答案）：

\[l_i = (l_{ls} \& r_{rs}) | ((\sim l_{ls}) \& l_{rs}) \]

\[r_i = (r_{ls} \& r_{rs}) | ((\sim r_{ls}) \& l_{rs}) \]

实现的时候因为 \(LCT\) 有 \(Makeroot\) 操作，因此还要记录反向进入的答案。然后最终我们 \(Split\) 取出这条链，从高到低位贪心去选择即可，于此同时记录一个 \(up\) 表示有没有达到上界。这样复杂度就能做到 \(O(nk \log n)\)。

你会发现这个做法的瓶颈在于我们进行了拆位考虑，但你会发现我们只在乎每一位从 \(0 / 1\) 进入出来后的答案，又没有什么办法能让所有位置通过一次运算就知道 \(0 / 1\) 进入的答案呢？不难发现因为所有位是不会互相影响的，于是我们直接拿所有全 \(0\) 的二进制串和全 \(1\) 的二进制串进去跑即可，这样就可以一次跑出所有位置以 \(0 / 1\) 进入的答案了。因为每位之间不会互相影响，所以合并方式还是和按位考虑的时候一致。这样复杂度就是 \(O(n \times \max\{k, \log n\})\) 了。

一些坑点：

• 注意以后写 \(LCT\) 时，\(pushdown\) 一定是交换儿子的信息，而自己的信息在打标记时就要交换。因为 \(Splay\) 时会可能用到儿子的信息。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, l, r) for(int i = l; i <= r; ++i)
#define dep(i, l, r) for(int i = r; i >= l; --i)
#define Next(i, u) for(int i = h[u]; i; i = e[i].next)
typedef unsigned long long ull;
const int N = 100000 + 5;
struct edge{
    int v, next;
}e[N << 1];
struct node{
    ull l, r;
    node operator + (const node &b){
        node a; 
        a.l = (~l & b.l) | (l & b.r), a.r = (~r & b.l) | (r & b.r);
        return a;
    }
}res, f[N][2], val[N][2];
ull x, ans, limit;
int n, m, k, u, v, up, tot, opt, top, h[N], st[N], fa[N], tag[N], ch[N][2];
int read(){
    char c; int x = 0, f = 1;
    c = getchar();
    while(c > '9' || c < '0'){ if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
void add(int u, int v){
    e[++tot].v = v, e[tot].next = h[u], h[u] = tot;
    e[++tot].v = u, e[tot].next = h[v], h[v] = tot;
}
void dfs(int u, int Fa){
    fa[u] = Fa;
    Next(i, u) if(e[i].v != Fa) dfs(e[i].v, u);
}
int which(int x){
    return (ch[fa[x]][1] == x);
}
int isroot(int x){
    return ((ch[fa[x]][0] != x) && (ch[fa[x]][1] != x)); 
}
void update(int x){
    val[x][0].l = 0, val[x][0].r = limit, val[x][1] = val[x][0];
    if(ch[x][0]) val[x][0] = val[ch[x][0]][0];
    if(ch[x][1]) val[x][1] = val[ch[x][1]][1];
    val[x][0] = val[x][0] + f[x][0], val[x][1] = val[x][1] + f[x][1];
    if(ch[x][1]) val[x][0] = val[x][0] + val[ch[x][1]][0];
    if(ch[x][0]) val[x][1] = val[x][1] + val[ch[x][0]][1];
}
void down(int x){
    if(!tag[x]) return;
    tag[x] = 0, tag[ch[x][0]] ^= 1, tag[ch[x][1]] ^= 1, swap(ch[x][0], ch[x][1]);
    swap(val[ch[x][0]][0], val[ch[x][0]][1]), swap(val[ch[x][1]][0], val[ch[x][1]][1]); // 就是指的这里
}
void rotate(int x){
    int y = fa[x], z = fa[y], k = which(x), w = ch[x][k ^ 1];
    fa[w] = y, ch[y][k] = w;
    fa[x] = z; if(!isroot(y)) ch[z][which(y)] = x;
    fa[y] = x, ch[x][k ^ 1] = y;
    update(y), update(x);
}
void Splay(int x){
    int cur = x; st[++top] = x;
    while(!isroot(cur)) st[++top] = fa[cur], cur = fa[cur];
    while(top) down(st[top--]);
    while(!isroot(x)){
        int y = fa[x];
        if(!isroot(y)){
            if(which(x) == which(y)) rotate(y);
            else rotate(x);
        }
        rotate(x);
    }
}
void Access(int x){
    for(int y = 0; x; y = x, x = fa[x]) Splay(x), ch[x][1] = y, update(x);
}
void Makeroot(int x){
    Access(x), Splay(x), tag[x] ^= 1, swap(val[x][0], val[x][1]); // 以及这里
}
void Split(int x, int y){
    Makeroot(x), Access(y), Splay(y);
}
signed main(){
    n = read(), m = read(), k = read(); 
    rep(i, 0, k - 1) limit += (1ull << i);
    rep(i, 1, n){
        opt = read(), scanf("%llu", &x);
        if(opt == 1) f[i][0].l = (0ull & x), f[i][0].r = (limit & x), f[i][1] = f[i][0];
        if(opt == 2) f[i][0].l = (0ull | x), f[i][0].r = (limit | x), f[i][1] = f[i][0];
        if(opt == 3) f[i][0].l = (0ull ^ x), f[i][0].r = (limit ^ x), f[i][1] = f[i][0];
        val[i][0] = f[i][0], val[i][1] = f[i][1];
    }
    rep(i, 1, n - 1) u = read(), v = read(), add(u, v);
    dfs(1, 0);
    while(m--){
        opt = read(), u = read(), v = read(), scanf("%llu", &x);
        if(opt == 1){
            Split(u, v), res = val[v][0], up = 1, ans = 0;
            dep(i, 0, k - 1){
                if((1ull << i) <= x){
                    if(res.l & (1ull << i)) up = (up & (!(x & (1ull << i)))), ans += (1ull << i);
                    else if(res.r & (1ull << i)){
                        if(!up || (x & (1ull << i))) ans += (1ull << i);
                    }
                    else if(x & (1ull << i)) up = 0;
                }
                else if(res.l & (1ull << i)) ans += (1ull << i);
            }
            printf("%llu\n", ans);
        }
        else{
            Splay(u);
            if(v == 1) f[u][0].l = (0ull & x), f[u][0].r = (limit & x), f[u][1] = f[u][0];
            if(v == 2) f[u][0].l = (0ull | x), f[u][0].r = (limit | x), f[u][1] = f[u][0];
            if(v == 3) f[u][0].l = (0ull ^ x), f[u][0].r = (limit ^ x), f[u][1] = f[u][0];
            update(u);
        }
    }
    return 0;
}