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二项式反演

先从反演原理出发,假如存在两个数列 f,g,我们知道 fn=ni=0an,i×gi,则 gn=ni=0bn,i×fi 恒成立,那么我们由 f 推出 g 的过程叫做反演。下面我们来探讨一下上面两个式子恒成立的条件,将左边带入右边,那么有:

gn=ni=0bn,iij=0ai,jgj=ni=0ginj=ibn,j×aj,i

因此,如果反演要成立,则 nj=ibn,j×aj,i=[i=n],因此我们只需要找到这样一种恒等式,就能自己构建起一套反演体系。而我们常见的二项式反演大多来自于这样两个恒等式:

\sum\limits_{i = 0} ^ n (-1) ^ i \dbinom{n}{i} = [n = 0]

\sum\limits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} \dbinom{m}{i} \times \dbinom{i}{n} = [n = m]

前一个式子的证明考虑使用二项式定理 (x + y) ^ n = \sum\limits_{i = 0} ^ n \dbinom{n}{i} x ^ i y ^ {n - i},令 x = -1, y = 1 即可。

再来考虑证明后一个式子:

\begin{aligned} \sum\limits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} \dbinom{m}{i} \times \dbinom{i}{n} &= \sum\limits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} \dbinom{m}{n} \times \dbinom{m - n}{i - n}\\ &= \dbinom{m}{n} \sum\limits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} \times \dbinom{m - n}{i - n}\\ &=\dbinom{m}{n} \sum\limits_{i = 0} ^ {m - n} (-1) ^ i \times \dbinom{m - n}{i} \end{aligned}

最后一步同样考虑二项式定理 \dbinom{m}{n} \times (-1 + 1) ^ {m - n} = \dbinom{m}{n} \sum\limits_{i = 0} ^ {m - n} (-1) ^ i \times \dbinom{m - n}{i} = [n = m]

那么我们能通过这两个恒等式造出那些反演公式呢?

第一个恒等式最经典的即 f_n = \sum\limits_{i = n} ^ m \dbinom{m}{i} g_i \times k_i, g_0 = \sum\limits_{i = 0} ^ m (-1) ^ i f_i,也就是我们通常使用的容斥。组合意义即钦定 i 个位置非法其余位置随意的方案,然后计算出没有位置非法的方案。虽然上面的式子推出来与反演原理不同,但将左边带入右边最终证明是与式一是完全一致的。

接下来是由式二带出来的反演公式:

f_n = \sum\limits_{i = 0} ^ n (-1) ^ i \dbinom{n}{i} g_i, g_n = \sum\limits_{i = 0} ^ n (-1) ^ i \dbinom{n}{i} f_i

这是一个极其对称的式子,也非常的好记,但一般而言 f, g 的关系会是下面这种形式:

f_n = \sum\limits_{i = 0} ^ n \dbinom{n}{i} g_i, g_n = \sum\limits_{i = m} ^ n (-1) ^ {n - i} \dbinom{n}{i} f_i

注意这里 i 可以从 m(一个任意的数)开始,因为运用上面的恒等式二的方法证明时不需要保证 i0 开始。

然而,二项式定理一般出现最多的情况是下面这种:

f_n = \sum\limits_{i = n} ^ m \dbinom{i}{n} g_i, g_n = \sum\limits_{i = n} ^ m (-1) ^ {i - n} \dbinom{i}{n} f_i

同样把左边带入右边与恒等式二本质相同的证法即可证明。其实,二项式定理扩展到高维形式也是成立的,接下来的做题记录当中将会提到。

posted @   Achtoria  阅读(435)  评论(1编辑  收藏  举报
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