[NOI2014] 动物园——KMP 倍增

[NOI2014] 动物园

题目描述

近日,园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅,只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气,让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的,园长决定开设算法班,让动物们学习算法。

某天,园长给动物们讲解 KMP 算法。

园长:“对于一个字符串 S,它的长度为 L。我们可以在 O(L) 的时间内,求出一个名为 next 的数组。有谁预习了 next 数组的含义吗?”

熊猫:“对于字符串 S 的前 i 个字符构成的子串,既是它的后缀又是它的前缀的字符串中(它本身除外),最长的长度记作 next[i]。”

园长:“非常好!那你能举个例子吗?”

熊猫:“例 Sabcababc,则 next[5]=2。因为S的前5个字符为 abcabab 既是它的后缀又是它的前缀,并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理,还可得出 next[1]=next[2]=next[3]=0next[4]=next[6]=1next[7]=2next[8]=3。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后,他详细讲解了如何在 O(L) 的时间内求出 next 数组。

下课前,园长提出了一个问题:“KMP 算法只能求出 next 数组。我现在希望求出一个更强大 num 数组一一对于字符串 S 的前 i 个字符构成的子串,既是它的后缀同时又是它的前缀,并且该后缀与该前缀不重叠,将这种字符串的数量记作 num[i]。例如 Saaaaa,则 num[4]=2。这是因为S的前 4 个字符为 aaaa,其中 aaa 都满足性质‘既是后缀又是前缀’,同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而 aaa 虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’,但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了,所以不能计算在内。同理,num[1]=0,num[2]=num[3]=1,num[5]=2。”

最后,园长给出了奖励条件,第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话,睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了!但企鹅并不会做这道题,于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢?

特别地,为了避免大量的输出,你不需要输出 num[i] 分别是多少,你只需要输出所有 (num[i]+1) 的乘积,对 109+7 取模的结果即可。

输入格式

1 行仅包含一个正整数 n,表示测试数据的组数。
随后 n 行,每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串 SS 的定义详见题目描述。数据保证 S 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行,行末不会存在多余的空格。

输出格式

包含 n 行,每行描述一组测试数据的答案,答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据,仅需要输出一个整数,表示这组测试数据的答案对 109+7 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

样例 #1

样例输入 #1

3
aaaaa
ab
abcababc

样例输出 #1

36
1
32

提示

测试点编号 约定
1 n5,L50
2 n5,L200
3 n5,L200
4 n5,L10,000
5 n5,L10,000
6 n5,L100,000
7 n5,L200,000
8 n5,L500,000
9 n5,L1,000,000
10 n5,L1,000,000

分析

可以发现next[]数组所代表的边构成一棵树。
所以可以考虑倍增加速寻找长度小于等于i/2的公共前后缀的节点,O(nlogn)
或者考虑在求出next[]数组后再模拟一遍kmp,这次令j指针跳转至长度小于等于i/2的节点,求出答案,O(n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+100;
int n,net[N],val[N],f[23][N];
char s[N];
long long P=1000000007;
int main()
{
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
scanf("%s",s+1);
int len=strlen(s+1);
long long ans=1;
net[0]=net[1]=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=0;j<=21;++j)
f[j][i]=0;
val[1]=1;
for(int i=2,j=0;i<=len;++i)
{
net[i]=val[i]=0;
while(j && s[j+1]!=s[i])j=net[j];
j+=(s[i]==s[j+1]);
net[i]=j;val[i]=val[j]+1;
}
for(int i=2;i<=len;++i)
{
int nw=net[i];
f[0][i]=nw;
for(int j=1;j<=21;++j)
f[j][nw]=f[j-1][f[j-1][nw]];
}
//O(n)
/*
for(int i=2,j=0;i<=len;++i)
{
while(j && s[j+1]!=s[i])j=net[j];
j+=(s[i]==s[j+1]);
while((j<<1)>i)j=net[j];
ans=(ans*(val[j]+1))%P;
}
*/
//O(nlogn)
for(int i=1;i<=len;++i)
{
int x=net[i];
for(int j=21;j>=0;--j)
if(f[j][x]>i/2)
x=f[j][x];
if(x>i/2)
x=f[0][x];
ans=ans*(val[x]+1)%P;
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
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