[SDOI2011] 工作安排——费用流

[SDOI2011] 工作安排

题目描述

你的公司接到了一批订单。订单要求你的公司提供 $n$ 类产品，产品被编号为 $1 \sim n$，其中第 $i$ 类产品共需要 $C_i$ 件。公司共有 $m$ 名员工，员工被编号为 $1 \sim m$ 员工能够制造的产品种类有所区别。一件产品必须完整地由一名员工制造，不可以由某名员工制造一部分配件后，再转交给另外一名员工继续进行制造。

我们用一个由 $0$ 和 $1$ 组成的 $m \times n$ 的矩阵 $A$ 来描述每名员工能够制造哪些产品。矩阵的行和列分别被编号为 $1 \sim m$ 和 $1 \sim n$，$A_i,j$ 为 $1$ 表示员工 $i$ 能够制造产品 $j$，为 $0$ 表示员工 $i$ 不能制造产品 $j$。

如果公司分配了过多工作给一名员工，这名员工会变得不高兴。我们用愤怒值来描述某名员工的心情状态。愤怒值越高，表示这名员工心情越不爽，愤怒值越低，表示这名员工心情越愉快。员工的愤怒值与他被安排制造的产品数量存在某函数关系，鉴于员工们的承受能力不同，不同员工之间的函数关系也是有所区别的。

对于员工 $i$，他的愤怒值与产品数量之间的函数是一个 $S_i+1$ 段的分段函数。当他制造第 $1 \sim T_{i,1}$ 件产品时，每件产品会使他的愤怒值增加 $W_{i,1}$，当他制造第 $T_{i,1}+1 \sim T_{i,2}$ 件产品时，每件产品会使他的愤怒值增加 $W_{i,2}$ ……为描述方便，设 $T_{i,0}=0,T_{i,s_{i+1}}=+\infty$，那么当他制造第 $T_{i,j-1}+1 \sim T_{i,j}$ 件产品时，每件产品会使他的愤怒值增加 $W_{i,j}$，$1 \le j \le S_i+1$。

你的任务是制定出一个产品的分配方案，使得订单条件被满足，并且所有员工的愤怒值之和最小。由于我们并不想使用Special Judge，也为了使选手有更多的时间研究其他两道题目，你只需要输出最小的愤怒值之和就可以了。

输入格式

第一行包含两个正整数 $m$ 和 $n$，分别表示员工数量和产品的种类数；

第二行包含 $n$ 个正整数，第 $i$ 个正整数为 $C_i$；

以下 $m$ 行每行 $n$ 个整数描述矩阵 $A$；

下面 $m$ 个部分，第 $i$ 部分描述员工 $i$ 的愤怒值与产品数量的函数关系。每一部分由三行组成：第一行为一个非负整数 $S_i$，第二行包含 $S_i$ 个正整数，其中第 $j$ 个正整数为 $T_{i,j}$，如果 $S_i=0$ 那么输入将不会留空行（即这一部分只由两行组成）。第三行包含 $S_i+1$ 个正整数，其中第 $j$ 个正整数为 $W_{i,j}$。

输出格式

仅输出一个整数，表示最小的愤怒值之和。

样例 #1

样例输入 #1

2 3
2 2 2
1 1 0
0 0 1
1
2
1 10
1
2
1 6

样例输出 #1

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提示

数据范围及约定

• 存在 $30\%$ 的数据，保证 $1\le n,m\le 30$；
• 均匀分布着约 $30\%$ 的数据，满足 $S_i = 0$；
• 均匀分布着约 $30\%$ 的数据，满足 $S_i \le 1$（不包含上述 $S_i = 0$ 的数据）。

对于全部数据，满足 $1\le m,n\le 250$，$0\le S_i\le 5$，$0\le A_{i, j}\le 1$，$0< T_{i, j}< T_{i, j + 1}$，$0< W_{i,j} < W_{i, j + 1}$。所有数据均不大于 $10^5$。

分析

观察到$W_{i,j}$是递增的，且数据范围较小，所以考虑网络流。

对每个员工每个产品数量区间的花费建一条容量对应区间长度，花费为愤怒值的边，然后跑一遍最小费用最大流即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+100,INF=0x7fffffff;
struct edge{int x,y,n,z,sp;}e[N<<1];
struct employer{int s[11],t[11],k;}p[310];
int head[N],cnt=1;
int dep[N],gap[N],nw[N],g[310][310],w[N];
int vis[N],dfn,q[N],pre[N],dis[N];
int n,m,sta,edn,all;
void ad(int x,int y,int z,int sp)
{
    e[++cnt].n=head[x];
    e[cnt].y=y;
    e[cnt].x=x;
    e[cnt].z=z;
    e[cnt].sp=sp;
    head[x]=cnt;
}
void build()
{
    int he=1,ta=0;
    dep[edn]=1;
    q[++ta]=edn;++gap[dep[edn]];
    while(he<=ta)
    {
        int u=q[he++];
        for(int i=head[u];i;i=e[i].n)
        {
            int v=e[i].y;
            if(!dep[v] && !e[i].z)
            {
                dep[v]=dep[u]+1;
                q[++ta]=v;++gap[dep[v]];
            }
        }
    }
}
 
void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;++i)scanf("%d",&w[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            scanf("%d",&g[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int pos=0;
        scanf("%d",&pos);p[i].k=pos+1;
        for(int j=1;j<=pos;++j)
            scanf("%d",&p[i].t[j]);
        p[i].t[pos+1]=INF;
        for(int j=1;j<=pos+1;++j)
            scanf("%d",&p[i].s[j]);
    }
    sta=n+m+1;edn=sta+1;all=edn;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=1;j<=p[i].k;++j)
        {
            ad(sta,i,p[i].t[j]-p[i].t[j-1],p[i].s[j]);
            ad(i,sta,0,-p[i].s[j]);
        }
        for(int h=1;h<=m;++h)
        {
            if(!g[i][h])continue;
            ad(i,n+h,INF,0);
            ad(n+h,i,0,0);
        }
    }
    for(int i=n+1;i<=n+m;++i)
    {
        ad(i,edn,w[i-n],0);
        ad(edn,i,0,0);
    }
}
void ISAP()
{
    for(int i=1;i<=all;++i)
        dis[i]=INF;
    dis[sta]=0;++dfn;
    int he=1,ta=0;
    q[++ta]=sta;
    while(he<=ta)
    {
        int u=q[he++];
        vis[u]=dfn-1;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].n)
        {
            int v=e[i].y;
            if(e[i].z && dis[v]>dis[u]+e[i].sp)
            {
                dis[v]=dis[u]+e[i].sp;
                pre[v]=i;
                if(vis[v]!=dfn){q[++ta]=v;vis[v]=dfn;}
            }
        }
    }
}
long long returnflow()
{
    int u=edn,mxflow=INF,spe=0;
    while(u!=sta)
    {
        mxflow=min(e[pre[u]].z,mxflow);
        u=e[pre[u]].x;
    }
    u=edn;
    while(u!=sta)
    {
        e[pre[u]].z-=mxflow;
        e[pre[u]^1].z+=mxflow;
        spe+=e[pre[u]].sp*mxflow;
        u=e[pre[u]].x;
    }
    return spe;
}
void work()
{
    build();
    long long mnval=0;
    while(1)
    {
        ISAP();
        if(dis[edn]==INF)break;
        mnval+=returnflow();
    }
    cout<<mnval;
}
int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}