BZOJ4770 图样（概率期望+动态规划）

　　考虑求出所有MST的权值和再除以方案数，方案数显然是2^mn。

　　按位考虑，显然应该让MST里的边高位尽量为0。那么根据最高位是0还是1将点集划分成两部分，整张图的MST就是由两部分各自的MST之间连一条最小边得到的。两部分的MST权值和可以dp得到，即设f[i][j]表示i个点权值在0~2^j-1的MST权值和，枚举最高位是0的点的数量k，由f[k][j-1]和f[i-k][j-1]转移而来。问题只剩下求最小边的权值和。

　　这个东西也不是很好求，考虑求最小边不小于某值的方案数。同样根据最高位是0还是1划分点集成四个部分，转移比较显然，主要注意边界，即所有边该位都为1的情况，以及某边没有点的情况。盯着这个边界调了一下午最后发现果然这里根本就没写挂，而是预处理2^k时少了一部分。惨绝人寰。

　　复杂度O(n⁴m2^m)，虽然darkbzoj上只跑了3s，bzoj上还是根本卡不过去。

#include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 51
#define M 8
#define P 258280327
char getc(){char c=getchar();while ((c<'A'||c>'Z')&&(c<'a'||c>'z')&&(c<'0'||c>'9')) c=getchar();return c;}
int gcd(int n,int m){return m==0?n:gcd(m,n%m);}
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
int n,m,C[N][N],f[N][M+1],g[N][N][M],h[N][N][M][1<<M],p[N*M];
void inc(int &x,int y){x+=y;if (x>=P) x-=P;}
int inv(int a)
{
    int s=1;
    for (int k=P-2;k;k>>=1,a=1ll*a*a%P) if (k&1) s=1ll*s*a%P;
    return s;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("bzoj4770.in","r",stdin);
    freopen("bzoj4770.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d\n";
#else
    const char LL[]="%lld\n";
#endif
    n=read(),m=read();
    C[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for (int j=1;j<i;j++)
        C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;
    }
    p[0]=1;for (int i=1;i<(n+1)*m;i++) p[i]=(p[i-1]<<1)%P;
    for (int i=0;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=n-i&&j<=i;j++)
        h[i][j][0][0]=1;
    for (int k=1;k<m;k++)
        for (int x=0;x<(1<<k);x++)
        {
            for (int i=0;i<=n;i++) h[i][0][k][x]=p[i*k];
            for (int i=1;i<=n;i++)
                for (int j=1;j<=n-i&&j<=i;j++)
                    for (int u=0;u<=i;u++)
                        for (int v=0;v<=j;v++)
                        if (u==0&&j==v||i==u&&v==0) inc(h[i][j][k][x],1ll*h[max(u,j-v)][min(u,j-v)][k-1][max(x-(1<<k-1),0)]*h[max(i-u,v)][min(i-u,v)][k-1][max(x-(1<<k-1),0)]%P);
                        else inc(h[i][j][k][x],1ll*C[i][u]*C[j][v]%P*h[max(u,v)][min(u,v)][k-1][x]%P*h[max(i-u,j-v)][min(i-u,j-v)][k-1][x]%P);
        }
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n-i&&j<=i;j++)
            for (int k=1;k<m;k++)
                for (int x=1;x<(1<<k);x++)
                inc(g[i][j][k],h[i][j][k][x]);
    for (int k=1;k<=m;k++)
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            inc(f[i][k],f[i][k-1]);inc(f[i][k],f[i][k-1]);
            for (int j=1;j<i;j++)
            inc(f[i][k],1ll*C[i][j]*(1ll*f[j][k-1]*p[(i-j)*(k-1)]%P+1ll*f[i-j][k-1]*p[j*(k-1)]%P+p[(k-1)*(i+1)]+g[max(j,i-j)][min(j,i-j)][k-1])%P);
        }
    cout<<1ll*f[n][m]*inv(p[m*n])%P;
    return 0;
}