BZOJ1041 HAOI2008圆上的整点（数论）

　　求x²+y²=r²的整数解个数，显然要化化式子。考虑求正整数解。

　　y²=r²-x²→y²=(r-x)(r+x)→(r-x)(r+x)为完全平方数→(r-x)(r+x)/d²为完全平方数，d=gcd(r-x,r+x)→(r-x)/d·(r+x)/d为完全平方数，gcd((r-x)/d,(r+x)/d)=1→(r-x)/d和(r+x)/d均为完全平方数→(r-x)/d+(r+x)/d=2r/d为整数，即d|2r

　　于是我们可以以√n的复杂度枚举d，然后枚举√(r-x)/d，检验一下是否满足之前推导中的条件即可，再加上坐标轴上和其余象限的答案。

　　这样的复杂度并不显然，不过感觉上明显低于线性，并且一个数的因数个数是有比较优秀的上界的：n^{1.066/ln(ln n)}。http://vfleaking.blog.163.com/blog/static/174807634201341913040467/

　　还有O(分解质因数)的神仙做法，似乎将素数拓展到了复平面，并不可能懂。

 

#include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
#define ll long long
int n,ans=0;
ll m;
ll gcd(ll n,ll m){return m==0?n:gcd(m,n%m);}
void solve(ll x)
{
    if (x>=n) return;
    for (int i=1;i*i*x<=n;i++)
    {
        int a=i*i;
        if (gcd(a,m/x-a)==1&&((ll)sqrt(m/x-a))*((ll)sqrt(m/x-a))==m/x-a) ans++;
    }
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("bzoj1041.in","r",stdin);
    freopen("bzoj1041.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d\n";
#else
    const char LL[]="%lld\n";
#endif
    n=read();m=1ll*n<<1;
    for (ll i=1;i*i<=m;i++)
    if (m%i==0)
    {
        solve(i);
        if (i*i<m) solve(m/i);
    }
    cout<<(ans+1<<2);
    return 0;
}