BZOJ2173 整数的lqp拆分(生成函数)

  首先有序整数拆分有个显然的递推式是g(n)=Σg(i) (i=0~n-1),即枚举加入最后一个数之前和是多少。(虽然不用递推式也能显然地知道答案是2n-1)。

  类似地,lqp拆分有递推式f(n)=Σf(i)fib(n-i) (i=0~n-1)。由乘法分配律就可以推出。特别地,f(0)=1。

  又是一个卷积。是不是可以直接算了?啊要分治FFTn有1e6而且还不是NTT模数……肯定跑不过去啊。于是考虑生成函数。

  设其生成函数为F(x),斐波拉契数列的生成函数为FIB(x)。则F(x)=F(x)·FIB(x)+1。因为f(0)=1是我们的特殊规定所以补上1。即有F(x)=1/(1-FIB(x))。

  考虑求出FIB(x)的有限表示。可以把fib(n)的递推式也看做卷积。设a1=1,a2=1,则有fib(n)=Σfib(i)a(n-i)  (i=0~n-1)。而a的生成函数为A(x)=x+x2。那么有FIB(x)=FIB(x)·A(x)+x。有FIB(x)=x/(1-A(x))=x/(1-x-x2)。于是代入得F(x)=1/[1-x/(1-x-x2)]=1-x/(x2+2x-1)。

  这个求出来……多项式求逆?照样爆炸啊。

  据说可以用特征根。然而那是啥玩意啊?

  推了半天……不如打表!

  则显然f(n)=2f(n-1)+f(n-2)。

#include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
#define P 1000000007
#define N 1000010
int n,f[N];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("bzoj2173.in","r",stdin);
    freopen("bzoj2173.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d";
#else
    const char LL[]="%lld";
#endif
    n=read();
    f[0]=0,f[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++) f[i]=((f[i-1]<<1)%P+f[i-2])%P;
    cout<<f[n];
    return 0;
}

 

posted @ 2018-08-08 20:43  Gloid  阅读(242)  评论(0编辑  收藏  举报