Luogu5155 USACO18DEC Balance Beam（概率期望+凸包）

　　假设已经求出了在每个点的最优期望收益，显然最优策略是仅当移动一次后的期望收益>当前点收益时移动。对于初始点，其两边各存在一个最近的不满足上述条件的位置，因此从初始点开始随机游走，直到移动到这两个点之一时停止即为最优方案。

　　设当前点为i，左边的停止点为x，右边的停止点为y，考虑在x停止和在y停止的概率各是多少。设从i点出发在x停止的概率为f(i)，显然有f(x)=1，f(y)=0，f(i)=[f(i-1)+f(i+1)]/2。解方程得f(i)=(y-i)/(y-x)。在y停止的概率同理。

　　再设f[i]为从i点出发的最优期望收益，则f[i]=(y-i)/(y-x)*a[x]+(i-x)/(y-x)*a[y]。注意到这个式子实际上是(x,a[x])和(y,a[y])的连线在i点的值。所以如果任意两点间的连线都不高于在该点停止的收益，该点即为停止点。求出凸包即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 100010
int gcd(int n,int m){return m==0?n:gcd(m,n%m);}
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
int n,a[N],q[N],m;
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d\n";
#else
    const char LL[]="%lld\n";
#endif
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    q[++m]=0;
    for (int i=1;i<=n+1;i++)
    {
        while (m>1&&1ll*(a[i]-a[q[m]])*(q[m]-q[m-1])>1ll*(a[q[m]]-a[q[m-1]])*(i-q[m])) m--;
        q[++m]=i;
    }
    for (int i=1;i<m;i++)
        for (int j=q[i]+1;j<=q[i+1];j++)
        if (j<=n) printf(LL,(1ll*a[q[i]]*(q[i+1]-j)+1ll*a[q[i+1]]*(j-q[i]))*100000/(q[i+1]-q[i]));
    return 0;
}