LOJ2542 PKUWC2018随机游走(概率期望+容斥原理)
如果直接dp,状态里肯定要带上已走过的点的集合,感觉上不太好做。
考虑一种对期望的minmax容斥:其中Max(S)为遍历完S集合的期望步数,Min(S)为遍历到S集合中一个点的期望步数。当然才不管怎么证,反正看上去非常优美。
设f[i][S]为由i节点出发的Min(S),显然有f[i][S]=Σf[j][S]/di+1。暴力高斯消元复杂度就炸掉了。
注意到给出的是一棵树,现在连这个性质都没用到当然没法做。根据一个我没见过的套路,可以考虑把f[i]表示成a·f[fa]+b的形式,大力推一波式子就可以了。
求出f后,暴力枚举子集容斥进行预处理是O(3n)的,类似高维前缀和直接递推就是O(2nn)。然后就可以O(1)回答每个询问了。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; #define ll long long #define N 18 #define P 998244353 char getc(){char c=getchar();while ((c<'A'||c>'Z')&&(c<'a'||c>'z')&&(c<'0'||c>'9')) c=getchar();return c;} int gcd(int n,int m){return m==0?n:gcd(m,n%m);} int read() { int x=0,f=1;char c=getchar(); while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();} while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar(); return x*f; } int n,m,S,p[N],f[N][1<<N],size[1<<N],d[N],a[N],b[N],t; struct data{int to,nxt; }edge[N<<1]; void addedge(int x,int y){t++;edge[t].to=y,edge[t].nxt=p[x],p[x]=t;} int ksm(int a,int k) { int s=1; for (;k;k>>=1,a=1ll*a*a%P) if (k&1) s=1ll*s*a%P; return s; } int inv(int a){return ksm(a,P-2);} void dfs(int k,int from,int S) { for (int i=p[k];i;i=edge[i].nxt) if (edge[i].to!=from) dfs(edge[i].to,k,S); if (S&(1<<k)) a[k]=b[k]=0; else { int A=0,B=0; for (int i=p[k];i;i=edge[i].nxt) if (edge[i].to!=from) A=(A+a[edge[i].to])%P,B=(B+b[edge[i].to])%P; a[k]=inv((d[k]-A+P)%P),b[k]=1ll*(B+d[k])*a[k]%P; } } void dfs2(int k,int from,int S) { for (int i=p[k];i;i=edge[i].nxt) if (edge[i].to!=from) { f[edge[i].to][S]=(1ll*a[edge[i].to]*f[k][S]+b[edge[i].to])%P; dfs2(edge[i].to,k,S); } } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("loj2542.in","r",stdin); freopen("loj2542.out","w",stdout); const char LL[]="%I64d\n"; #else const char LL[]="%lld\n"; #endif n=read(),m=read(),S=read()-1; for (int i=1;i<n;i++) { int x=read()-1,y=read()-1; addedge(x,y),addedge(y,x); d[x]++,d[y]++; } for (int i=1;i<(1<<n);i++) for (int j=0;j<n;j++) if (i&(1<<j)) {dfs(j,j,i);dfs2(j,j,i);break;} for (int i=1;i<(1<<n);i++) { size[i]=size[i^(i&-i)]+1; if (!(size[i]&1)) f[S][i]=(P-f[S][i])%P; } for (int i=0;i<n;i++) for (int j=1;j<(1<<n);j++) if (j&(1<<i)) f[S][j]=(f[S][j]+f[S][j^(1<<i)])%P; /*for (int i=(1<<n)-1;i;i--) for (int j=i^(i&-i);j;j=j-1&i) f[S][i]=(f[S][i]+f[S][j])%P;*/ while (m--) { int k=read(),x=0; for (int i=1;i<=k;i++) x|=1<<read()-1; printf("%d\n",f[S][x]); } return 0; }