转载：字符串HASH

转载自：Slager_Z

字符串Hash总结

Hash是什么意思呢？某度翻译告诉我们：

hash 英[hæʃ] 美[hæʃ]
n. 剁碎的食物; #号; 蔬菜肉丁;
vt. 把…弄乱; 切碎; 反复推敲; 搞糟;

我觉得Hash是引申出 把...弄乱 的意思。

今天就来谈谈Hash的一种——字符串hash。

据我的理解，Hash就是一个像函数一样的东西，你放进去一个值，它给你输出来一个值。输出的值就是Hash值。一般Hash值会比原来的值更好储存(更小)或比较。

那字符串Hash就非常好理解了。就是把字符串转换成一个整数的函数。而且要尽量做到使字符串对应唯一的Hash值。

字符串Hash的种类还是有很多种的，不过在信息学竞赛中只会用到一种名为“BKDR Hash”的字符串Hash算法。

它的主要思路是选取恰当的进制，可以把字符串中的字符看成一个大数字中的每一位数字，不过比较字符串和比较大数字的复杂度并没有什么区别(高精数的比较也是O(n)O(n)的)，但只要把它对一个数取模，然后认为取模后的结果相等原数就相等，那么就可以在一定的错误率的基础上O(1)O(1)进行判断了。

那么我们选择什么进制比较好？

首先不要把任意字符对应到数字0，比如假如把a对应到数字0，那么将不能只从Hash结果上区分ab和b（虽然可以额外判断字符串长度，但不把任意字符对应到数字0更加省事且没有任何副作用），一般而言，把a-z对应到数字1-26比较合适。

关于进制的选择实际上非常自由，大于所有字符对应的数字的最大值，不要含有模数的质因子(那还模什么)，比如一个字符集是a到z的题目，选择27、233、19260817都是可以的。

模数的选择（尽量还是要选择质数）：

绝大多数情况下，不要选择一个109109级别的数，因为这样随机数据都会有Hash冲突，根据生日悖论，随便找上109−−−√109个串就有大概率出现至少一对Hash 值相等的串（参见BZOJ 3098 Hash Killer II）。

最稳妥的办法是选择两个109109级别的质数，只有模这两个数都相等才判断相等，但常数略大，代码相对难写，目前暂时没有办法卡掉这种写法（除了卡时间让它超时）（参见BZOJ 3099 Hash Killer III）。

如果能背过或在考场上找出一个10181018级别的质数(Miller-Rabin)，也相对靠谱，主要用于前一种担心会超时，后一种担心被卡。

偷懒的写法就是直接使用unsigned long long，不手动进行取模，它溢出时会自动对264264进行取模，如果出题人比较良心，这种做法也不会被卡，但这个是完全可以卡的，卡的方法参见BZOJ 3097 Hash Killer I。

用luogu P3370为例。

这是自然溢出hash(100)

C++

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull base=131;
ull a[10010];
char s[10010];
int n,ans=1;
ull hashs(char s[])
{
    int len=strlen(s);
    ull ans=0;
    for (int i=0;i<len;i++)
        ans=ans*base+(ull)s[i];
    return ans&0x7fffffff;
}
main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",s);
        a[i]=hashs(s);
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    for (int i=2;i<=n;i++)
        if (a[i]!=a[i-1])
            ans++;
    printf("%d\n",ans);
}
 

这是单模数hash(80)

C++

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull base=131;
ull a[10010];
char s[10010];
int n,ans=1;
ull mod=19260817;
ull hashs(char s[])
{
    int len=strlen(s);
    ull ans=0;
    for (int i=0;i<len;i++)
        ans=(ans*base+(ull)s[i])%mod;
    return ans;
}
main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",s);
        a[i]=hashs(s);
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    for (int i=2;i<=n;i++)
        if (a[i]!=a[i-1])
            ans++;
    printf("%d\n",ans);
}

 

 这是双hash(100)

C++

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull base=131;
struct data
{
    ull x,y;
}a[10010];
char s[10010];
int n,ans=1;
ull mod1=19260817;
ull mod2=19660813;
ull hash1(char s[])
{
    int len=strlen(s);
    ull ans=0;
    for (int i=0;i<len;i++)
        ans=(ans*base+(ull)s[i])%mod1;
    return ans;
}
ull hash2(char s[])
{
    int len=strlen(s);
    ull ans=0;
    for (int i=0;i<len;i++)
        ans=(ans*base+(ull)s[i])%mod2;
    return ans;
}
bool comp(data a,data b)
{
    return a.x<b.x;
}
main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",s);
        a[i].x=hash1(s);
        a[i].y=hash2(s);
    }
    sort(a+1,a+n+1,comp);
    for (int i=2;i<=n;i++)
        if (a[i].x!=a[i-1].x || a[i-1].y!=a[i].y)
            ans++;
    printf("%d\n",ans);
}

这是只用一个10^18质数的hash(100)

C++

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull base=131;
ull a[10010];
char s[10010];
int n,ans=1;
ull mod=212370440130137957ll;
ull hashs(char s[])
{
    int len=strlen(s);
    ull ans=0;
    for (int i=0;i<len;i++)
        ans=(ans*base+(ull)s[i])%mod;
    return ans;
}
main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",s);
        a[i]=hashs(s);
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    for (int i=2;i<=n;i++)
        if (a[i]!=a[i-1])
            ans++;
    printf("%d\n",ans);
}

Hash还有一方面，就是它可以处理子串信息。对于一个字符串，我们可以预处理它1−l1−l的hash值，这样l+1l+1的hash值就可以O(1)O(1)的递推出来。

对于一个字符串l−rl−r的子串，我们可以用f[r]−br−l+1f[l−1]f[r]−br−l+1f[l−1]来求出来，其中b表示进制。

这样的话hash就可以水过字符串匹配的题目

cogs1570

【题目描述】

法国作家乔治·佩雷克(Georges Perec，1936-1982)曾经写过一本书，《敏感字母》（La disparition），全篇没有一个字母‘e’。他是乌力波小组（Oulipo Group）的一员。下面是他书中的一段话：

Tout avait Pair normal, mais tout s’affirmait faux. Tout avait Fair normal, d’abord, puis surgissait l’inhumain, l’affolant. Il aurait voulu savoir où s’articulait l’association qui l’unissait au roman : stir son tapis, assaillant à tout instant son imagination, l’intuition d’un tabou, la vision d’un mal obscur, d’un quoi vacant, d’un non-dit : la vision, l’avision d’un oubli commandant tout, où s’abolissait la raison : tout avait l’air normal mais…

佩雷克很可能在下面的比赛中得到高分（当然，也有可能是低分）。在这个比赛中，人们被要求针对一个主题写出甚至是意味深长的文章，并且让一个给定的“单词”出现次数尽量少。我们的任务是给评委会编写一个程序来数单词出现了几次，用以得出参赛者最终的排名。参赛者经常会写一长串废话，例如500000个连续的‘T’。并且他们不用空格。

因此我们想要尽快找到一个单词出现的频数，即一个给定的字符串在文章中出现了几次。更加正式地，给出字母表{'A','B','C',...,'Z'}和两个仅有字母表中字母组成的有限字符串：单词W和文章T，找到W在T中出现的次数。这里“出现”意味着W中所有的连续字符都必须对应T中的连续字符。T中出现的两个W可能会部分重叠。

【输入格式】

输入包含多组数据。

输入文件的第一行有一个整数，代表数据组数。接下来是这些数据，以如下格式给出：

第一行是单词W，一个由{'A','B','C',...,'Z'}中字母组成的字符串，保证1<=|W|<=10000（|W|代表字符串W的长度）

第二行是文章T，一个由{'A','B','C',...,'Z'}中字母组成的字符串，保证|W|<=|T|<=1000000。

【输出格式】

对每组数据输出一行一个整数，即W在T中出现的次数。

【样例输入】

3
BAPC
BAPC
AZA
AZAZAZA
VERDI
AVERDXIVYERDIAN

【样例输出】

1
3
0

代码

C++

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull base=131;
ull po[100010],hs[100010*100];
char s1[100010],s2[100010*100];
int n,ans=1,T;
ull geth(int l,int r)
{
    return (ull)hs[r]-po[r-l+1]*hs[l-1];
}
main()
{
    freopen("oulipo.in","r",stdin);
    freopen("oulipo.out","w",stdout);
    po[0]=1;
    for (int i=1;i<=10010-5;i++)
        po[i]=po[i-1]*base;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%s%s",s1+1,s2+1);
        int l1=strlen(s1+1),l2=strlen(s2+1);
        ull a1=0,ans=0;
        for (int i=1;i<=l1;i++)
            a1=a1*base+(ull)s1[i];
        for (int i=1;i<=l2;i++)
            hs[i]=hs[i-1]*base+s2[i];
        for (int i=1;i+l1-1<=l2;i++)
            if (a1==geth(i,i+l1-1))
                ans++;
        printf("%d\n",ans);
    }
}

写到这里突然发现hash好像可以暴力水过很多字符串算法。。

1、kmp

问题：给两个字符串S1，S2，求S2是否是S1的子串，并求S2在S1中出现的次数

把S2 Hash出来，在S1里找所有长度为|S2||S2|的子串，Hash比较。效率O(|S1|)O(|S1|)

2、AC自动机

问题：给N个单词串，和一个文章串，求每个单词串是否是文章串的子串，并求每个单词在文章中出现的次数。

把每一个单词hash成整数，再把文章的每一个子串hash成整数，接下来只需要进行整数上的查找即可。

复杂度：O(|A|2+|S|)O(|A|2+|S|)

用AC自动机可以做到O(|A|+|S|)O(|A|+|S|)的复杂度,|S||S|是单词串总长，|A||A|是文章长度

3、后缀数组

问题：给两个字符串S1,S2，求它们的最长公共子串的长度。

将S1的每一个子串都hash成一个整数，将S2的每一个子串都hash成一个整数

两堆整数，相同的配对，并且找到所表示的字符串长度最大的即可。

复杂度：O(|S1|2+|S2|2)O(|S1|2+|S2|2)

用后缀数组可以优化到O(|S|log|S|)O(|S|log|S|)

4、马拉车

问题：给一个字符串S，求S的最长回文子串。

先求子串长度位奇数的，再求偶数的。枚举回文子串的中心位置，然后二分子串的长度，直到找到一个该位置的最长回文子串，不断维护长度最大值即可。

复杂度：O(|S|log|S|)O(|S|log|S|)

用manacher可以做到O(|S|)O(|S|)的复杂度

5、扩展kmp

问题：给一个字符串S，求S的每个后缀与S的最长公共前缀

枚举每一个后缀的起始位置，二分长度，求出每个后缀与S的最长公共前缀。

复杂度：O(|S|log|S|)O(|S|log|S|)

用extend-kmp可以做到O(|S|)O(|S|)的复杂度

后记

hash真是一种优雅的暴力。

因为字符串特殊的性质，我们可以二分得处理它，一般都有单调性。

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