exgcd&CRT&Lucas

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　　模拟赛考完，感觉自己数论弱爆了，来写写总结。

　　QAQ

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　　1.exgcd

　　　　先写写推导过程吧：

　　　　　　对于方程 ax+by = gcd(a,b) 和 bx’+(a%b)y‘ = gcd(b,a%b) 

　　　　　　因为 gcd(a,b) == gcd(b,a%b)

　　　　　　所以 ax+by == bx’+(a%b)y‘

　　　　　　拆开，再合并得： ax+by == ay'+b(x'-[a/b]*y')

　　　　　　so , code

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1; y=0;
        return a;
    }
    int g=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return g;
}

　　

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　　2.CRT

　　　　中国剩余定理CRT（Chinese Remainder Theorem）

　　　　中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

　　　　

　　　　有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

　

　　　　是整数m₁,m₂, ... ,m_n的乘积，并设

是除了m_i以外的n- 1个整数的乘积。

　　　　设

为

模

的数论倒数(

为

模

意义下的逆元)

　　　　在模的意义下，方程组只有一个解：

　　　　　　　　　　　　　　　　——百度百科

　　　　

　　　　具体说说，如果我们要构造一个合法解，那么考虑对于其中任意的一个方程 i ，应该如何构造：

　　　　首先，我们要保证 x mod m_i == a_i 那么x 应该加上 a_i ，但会发现这会对其他方程产生影响

　　　　所以为了消除对其他方程的影响，我们应该加上 a_i × ( M/m_i ) ，但又会发现 x 又不满足mod m_i 余 a_i 了

　　　　所以实际我们应该给 x 加上 a_i × (M/m_i) × (M/m_i)^-1 ，（这个逆元是mod m_i 意义下的）

　　　　so，code

　　　　

int CRT()
{
    int M=1,x=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) M*=m[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int tmp=M/m[i];
        int t=qpow(tmp,m[i]-2,m[i]);
        x=(x+a[i]*tmp*t)%M;
    }
    return x;
}

 

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　　3.Lucas

　　　　当遇到组合数的计算时，若模数小于计算中阶乘的数时，不能直接对阶乘取模，此时便需要用到Lucas定理：

　　　　$ C_n^m \equiv C_{n/p} ^ {m / p} \times C_{n\%p}^{m\%p} \mod p $   （p为质数）

　　　　当 n,m 均小于p时计算，一直递归就行了

　　　　so，code　　　　

int C(int n,int m)
{
    if(n<m) return 0
    return fac[n]*inv[m]%p*inv[n-m]%p;
}
int Lucas(int n,int m)
{
    if(n<m) return 0; if(!n) return 1;
    return Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p;
}

 

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