洛谷P8110题解

本文同步更新于洛谷博客

题目描述

给定两个长度为 $n$ 的序列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 与一个整数 $k$。
设矩阵 $A$ 满足 $A_{ij}=a_i\times b_j$，求 $A^k$ 的所有元素的和在模 $998244353$ 意义下的结果。

题解

（$k=0$ 的时直接输出 $n$，下面只讨论 $k>0$ 的情况）
比赛的时候打了个暴力把 $A^2$ 和 $A^3$ 都求出来了，观察发现答案为 $\sum a_i\times\sum b_i\times(\sum a_ib_i)^{k-1}$，现在用数学归纳法来证明一下。
设 $A^{k-1}$ 为矩阵 $B$，$A^k$ 为矩阵 $C$。
当 $m=1$ 时，由矩阵乘法的定义可算出矩阵 $A$，不难发现和为 $\sum a_i\times\sum b_i$。
不妨假设 $m=k-1$ 时，$\sum\sum B_{ij}=\sum a_i\times\sum b_i\times(\sum a_ib_i)^{k-2}$，
则 $m=k$ 时，如下图可得 $C_{ij}=\sum\sum B_{ij}a_ib_j$，则 $\sum\sum C_{ij}=\sum\sum B_{ij}\times\sum a_ib_i=\sum a_i\times\sum b_i\times(\sum a_ib_i)^{k-1}$，证毕。

$\begin{bmatrix} a_1b_1&a_1b_2&...&a_1b_n \\ a_2b_1&a_2b_2&...&a_2b_n \\ ...&...&...&... \\ a_nb_1&a_nb_2&...&a_nb_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11}&B_{12}&...&B_{1n}\\ B_{21}&B_{22}&...&B_{2n}\\ ...&...&...&...\\ B_{n1}&B_{n2}&...&B_{nn} \end{bmatrix}$

最后用快速幂求解即可。

注意

$\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 中可能会有负数，注意取模。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll p=998244353;
const int maxn=1e5+5;
int n;
ll k,a[maxn],b[maxn],x,y,s;
ll quickpow(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
	if(b&1)
	    res=res*a%p;
	b>>=1;
	a=a*a%p;
    }
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&k);
    if(!k)
    {
	printf("%d\n",n);
	return 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
	scanf("%lld",&a[i]);
	x=(x+a[i])%p;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&b[i]);
	y=(y+b[i])%p;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
	s=(s+a[i]*b[i]%p)%p;
    printf("%lld\n",(x*y%p*quickpow(s,k-1)%p+p)%p);
    return 0;
}