洛谷P6754题解

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题目描述

给定 $a,b$，求区间 $[a,b]$ 中有多少个不含长度大于一的回文子串的数字串。

题解

还是比较套路的数位 dp。我们传五个参数 $k,x,y,p,q$ 进入 dfs，分别表示枚举到第 $k$ 位，前两位为 $x$，前一位为 $y$，是否为前导 $0$，以及这一位填的数有没有限制，用 $f$ 数组记忆化即可。
下面来简要说明一下如何判断非回文串。不妨设回文串为 $s_1s_2...s_n$，接下来进行分类讨论：若 $n$ 为奇数，令 $m=\dfrac{n+1}{2}$，则 $s_{m-1}s_ms_{m+1}$ 必为回文串；若 $n$ 为偶数，令 $m=\dfrac{n}{2}$，则 $s_ms_{m+1}$ 必为回文串。因此我们在填到第 $x$ 位时，只需要判断它与第 $x-1$ 位和第 $x-2$ 位是否相等即可。

注意

我们把填前导 $0$ 的位置设为 $-1$，这样会更加方便，但是 $x$ 和 $y$ 为 $-1$ 的时候不能进行记忆化。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int len,a[20];
ll l,r,f[20][10][10];
ll dfs(int k,int x,int y,int p,int q)
{
    if(!k)
        return 1;
    if(!p&&!q&&x!=-1&&y!=-1&&f[k][x][y]!=-1)
	return f[k][x][y];
    int z=q?a[k]:9;
    ll res=0;
    for(int i=0;i<=z;i++)
    {
	if(i==x||i==y)
	    continue;
	res+=dfs(k-1,y,(p&&!i)?-1:i,p&&!i,q&&(i==z));
    }
    if(!p&&!q&&x!=-1&&y!=-1)
        f[k][x][y]=res;
    return res;
}
ll divide(ll x)
{
    len=0;
    while(x)
    {
        a[++len]=x%10;
	x/=10;
    }
    return dfs(len,-1,-1,1,1);
}
int main()
{
    memset(f,-1,sizeof(f));
    scanf("%lld%lld",&l,&r);
    printf("%lld\n",divide(r)-divide(l-1));
    return 0;
}