数学中最简单的运算就是加法和减法。然而在计算机中，最简单的运算却是 AND、OR 和 NOT。
一、AND
物理课上，我们都作过串联实验。把两个开关依次起来之后，如果还要点亮灯泡，就必须同时闭合两个开关。
将开关闭合定义为1，开关断开定义为0；将灯泡点亮定义为1，灯泡熄灭定义为0。则串联的两个开关与灯泡的关联规则是：
(0 0) -> 0 (1 0) -> 0 (0 1) -> 0 (1 1) -> 1
(0 AND 0) -> 0 (1 AND 0) -> 0 (0 AND 1) -> 0 (1 AND 1) -> 1
于是，将串联的开关作为输入，就灯泡的亮灭作为输出，上面的电路图就构成了计算机中AND操作（与门）的基本结构。当然计算机中的与门没有这么简单，实际上是通过两个继电器（或缓冲器）来实现的，只是基本原理如此。与门的符号如下：
二、OR
提到串联自然会想到并联。把两个开关并联起来，如果还要点亮灯泡，闭合任何一个开关都可以了。
同样的定义，开关断开闭合与灯泡亮灭的规则为：
(0 0) -> 0 (1 0) -> 1 (0 1) -> 1 (1 1) -> 1
这个规则与布尔代数中的 OR 操作规则完全一致。
(0 OR 0) -> 0 (1 OR 0) -> 1 (0 OR 1) -> 1 (1 OR 1) -> 1
于是，并联开关的电路图就构成了计算机中OR操作（或门）的基本结构。当然，计算机中实际上还是通过两个继电器（或缓冲器）来实现的。 或门的符号为：
三、NOT
除去串联和并联，还有一种电路连接方式，叫做短路。
上面的连接方式中，当开关断开，灯泡点亮；当开关闭合，灯泡熄灭。其关联规则为
(0) -> 1 (1) -> 0
这正是NOT运算符的运算规则。与AND、OR都需要两个输入不同，NOT运算符的输入只有一个。
(NOT 0) -> 1 (NOT 1) -> 0
四、NAND 和 NOR
前面的AND、OR和NOT三个运算符之间是可以组合的。如果反转器跟在与门的输出之后，就构成了“与非门”，其符号如下，运算规则就是将与门的输出反转。
(0 NAND 0) -> 1 (1 NAND 0) -> 1 (0 NAND 1) -> 1 (1 NAND 1) -> 0
同理，如果反转器跟在或门的输出之后，就构成了“或非门”，其符号如下，运算规则就是将或门的输出反转。
(0 NOR 0) -> 1 (1 NOR 0) -> 0 (0 NOR 1) -> 0 (1 NOR 1) -> 0
五、半加器
布尔代数中的AND、OR和NOT三个运算符、以及NAND、NOR两个组合运算符，是计算机可以通过继电器的电路连接就直接实现的。那通过这五个基本运算符，可以实现数学中最普通的加法运算么？
首先，看一下加法的运算规则。
(0 + 0) -> 0 (1 + 0) -> 1 (0 + 1) -> 1 (1 + 1) -> 10
我们可以把这个规则划分成两个部分：进位与求和。
进 位 求 和 (0 0) -> 0 (0 0) -> 0 (1 0) -> 0 (1 0) -> 1 (0 1) -> 0 (0 1) -> 1 (1 1) -> 1 (1 1) -> 0
仔细看一下进位的规则，会发现与AND操作的规则完全一致。因此，通过一个实现AND操作的“与门”，就能实现加法中进位的处理。
进 位 与 门 (0 0) -> 0 (0 AND 0) -> 0 (1 0) -> 0 (1 AND 0) -> 0 (0 1) -> 0 (0 AND 1) -> 0 (1 1) -> 1 (1 AND 1) -> 1
再来看求和的规则，与前面提到的几个规则都不一致，但我们可以通过前述规则的组合来实现：将一个“与非门”和一个“或门”分别作为“与门”的输入，看看运算结果：
((0 NAND 0) AND (0 OR 0)) -> (1 AND 0) -> 0 ((1 NAND 0) AND (1 OR 0)) -> (1 AND 1) -> 1 ((0 NAND 1) AND (0 OR 1)) -> (1 AND 1) -> 1 ((1 NAND 1) AND (1 OR 1)) -> (0 AND 1) -> 0
这个运算的结果与求和的规则完全一致。因此，我们只需要通过“与非门”、“或门”和“与门”的组合，就可以实现计算机加法中求和的处理，其电路图如下：
对于这样复杂的基本操作，我们给他起了一个简单的名字：异或（XOR）。〔啊哈，好熟悉的名字。这个玄妙奇异的运算符，居然是从加法中诞生的。〕异或的符号如下：
现在我们把进位和求和两部分操作合并起来，就可以得到如下进行加法运算的电路图：
现在的这个电路图被称为“半加器”（Half Adder），因为这里只有两个加数的输入，还没有考虑到更低位进行加法时提供的进位。
六、全加器
OK，再把更低位提供的进位作为第三个输入加入我们的计算器中。根据加法规则，我们将之前计算后的求和部分加上更低位的进位，这同样会产生一个进位和一个求和的结果。
啊哦，现在有两个进位要处理了。如果同时为1，岂不是要继续进位？
来分析一下可能性。先假设两次运算的进位均为1。
既然第二次运算的进位为1，就意味着低位进位和前一次运算结果的求和这两个数值必然都为1。
而根据假设条件，第一次运算结果的进位也为1。
那就是说，第一次运算结果的进位和求和都是1。
这是不符合加法规则的。所以，假设不成立:-)
舒了一口气，好在两个进位不可能同时为1。因此，我们最终计算出来的进位结果，应该是这两次进位的或操作（只要有一个进位为1，进位结果就为1）。再给两个进位进行一次OR操作，加上一个“或门”吧。
现在的这张图被称为全加器（Full Adder），它在计算机中通过硬件实现了数学中最最基本的操作：加法。
OK，总结一下。一个“与门”需要两个继电器，一个“或门”需要两个继电器，一个“反转器”需要一个继电器：一个“与非门”需要两个继电器，一个“异或”需要六个继电器，一个“半加门”需要八个继电器，一个“全加门”需要十八个继电器。如果要计算八位数相加的电路，就一个需要一百四十四个继电器了。
继电器实在是太大了。幸运的是，随着技术进步，继电器早已经不在电脑中使用了。世界上的第一台电脑ENIAC就将继电器抛弃，改为了真空管，可仍然占用了170平方米的空间。现在，我们身边运行的电脑，都是使用晶体管代替了真空管。但计算原理仍然保持一致，计算八位数相加，仍然需要一百四十四个晶体管。
