BZOJ3672:[NOI2014]购票

Description

今年夏天，NOI在SZ市迎来了她30周岁的生日。来自全国 n 个城市的OIer们都会从各地出发，到SZ市参加这次盛会。

全国的城市构成了一棵以SZ市为根的有根树，每个城市与它的父亲用道路连接。为了方便起见，我们将全国的 n 个城市用 1 到 n 的整数编号。其中SZ市的编号为 1。对于除SZ市之外的任意一个城市 v，我们给出了它在这棵树上的父亲城市 f_v  以及到父亲城市道路的长度 s_v。

从城市 v 前往SZ市的方法为：选择城市 v 的一个祖先 a，支付购票的费用，乘坐交通工具到达 a。再选择城市 a 的一个祖先 b，支付费用并到达 b。以此类推，直至到达SZ市。

对于任意一个城市 v，我们会给出一个交通工具的距离限制 l_v。对于城市 v 的祖先 a，只有当它们之间所有道路的总长度不超过 l_v  时，从城市 v 才可以通过一次购票到达城市 a，否则不能通过一次购票到达。对于每个城市 v，我们还会给出两个非负整数 p_v,q_v  作为票价参数。若城市 v 到城市 a 所有道路的总长度为 d，那么从城市 v 到城市 a 购买的票价为 dp_v+q_v。

每个城市的OIer都希望自己到达SZ市时，用于购票的总资金最少。你的任务就是，告诉每个城市的OIer他们所花的最少资金是多少。

Input

第 1 行包含2个非负整数 n,t，分别表示城市的个数和数据类型（其意义将在后面提到）。输入文件的第 2 到 n 行，每行描述一个除SZ之外的城市。其中第 v 行包含 5 个非负整数 f_v,s_v,p_v,q_v,l_v，分别表示城市 v 的父亲城市，它到父亲城市道路的长度，票价的两个参数和距离限制。请注意：输入不包含编号为 1 的SZ市，第 2 行到第 n 行分别描述的是城市 2 到城市 n。

Output

输出包含 n-1 行，每行包含一个整数。其中第 v 行表示从城市 v+1 出发，到达SZ市最少的购票费用。同样请注意：输出不包含编号为 1 的SZ市。

Sample Input

7 3
1 2 20 0 3
1 5 10 100 5
2 4 10 10 10
2 9 1 100 10
3 5 20 100 10
4 4 20 0 10

Sample Output

40
150
70
149
300
150

HINT

对于所有测试数据，保证 0≤p_v≤10⁶，0≤q_v≤10¹²，1≤f_v<v；保证 0<s_v≤l_v≤2×10¹¹，且任意城市到SZ市的总路程长度不超过 2×10¹¹。

输入的 t 表示数据类型，0≤t<4，其中：

当 t=0 或 2 时，对输入的所有城市 v，都有 f_v=v-1，即所有城市构成一个以SZ市为终点的链；

当 t=0 或 1 时，对输入的所有城市 v，都有 l_v=2×10¹¹，即没有移动的距离限制，每个城市都能到达它的所有祖先；

当 t=3 时，数据没有特殊性质。

n=2×10^5

 

题解：

比较容易地看出这是一道dp题，而且和斜率优化有一些关系。

用dep表示到根的距离，则dp方程ans[i]<——ans[j]+p[i]*(dep[i]-dep[j])+q[i]（j是i可以到达的点）。

若跳到k比跳到j优（dep[k]>dep[j]），即ans[j]-p[i]*dep[j]>ans[k]-p[i]*dep[k]  ——>  p[i]>(ans[k]-ans[j])/(dep[k]-dep[j])

这个式子很像斜率优化，但因为有l[i]的限制，不能只维护一个下凸壳。

考虑一条链的情况，可以采用CDQ分治：

设lim[i]=dep[i]-l[i]，求出左半边的答案，将右边的点按照lim排序。

维护左半边的下凸壳，在这个下凸壳上二分更新右边元素的答案。从右往左把左边元素加到下凸壳中，按排序的顺序依次根据当前下凸壳更新答案。

到了树上，也可以采用这种方法：先求解最浅分治子块，设目前分治块中根为root，最浅点为less，将其他分治子块排序，依次加入root~less维护下凸壳。

也就是有根树的CDQ分治。

 

代码（P++注意）：

#include<bits/stdc++.h>
#define begin {
#define end }
#define while while(
#define if if(
#define do )
#define then )
#define for for(
#define fillchar(a,b,c) memset(a,c,b)
#define writeln printf("\n")
#define write printf
#define readln readl()
#define inc(a) a++
#define dec(a) a--
#define exit(a) return a
#define mod %
#define div /
#define shl <<
#define shr >>
#define extended long double
#define longint int
#define integer short
#define int64 long long
using namespace std;
template<typename T> inline void read(T& a)
begin
  T x=0,f=1; char ch=getchar();
  while(ch<'0')or(ch>'9')do
  begin
    if ch=='-' then f=-1; ch=getchar();
  end
  while(ch>='0')and(ch<='9')do
  begin
    x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();
  end
  a=x*f;
end
inline void readl()
begin
  char ch; ch=getchar();
  while ch!='\n' do ch=getchar();
end
int64 s[300000],p[300000],q[300000],l[300000],n,m,i,j,dep[300000],ans[300000];
int64 vis[300000],siz[300000],c[300000],last[300000],mx[300000],root,size,lb[300000],lb2[300000],cnt,cnt2,f[300000];
bool xiaoyu(int64 a,int64 b)
begin
  exit(dep[a]-l[a]>dep[b]-l[b]);
end
void dfs(int64 x,int64 fa)
begin
  siz[x]=1; mx[x]=0;
  if(vis[f[x]]==0)and(f[x]!=fa)then
  begin dfs(f[x],x); siz[x]=siz[x]+siz[f[x]]; mx[x]=max(mx[x],siz[f[x]]); end
  for int64 i=c[x];i;i=last[i] do
  if(vis[i]==0)and(i!=fa)then
  begin dfs(i,x); siz[x]=siz[x]+siz[i]; mx[x]=max(mx[x],siz[i]); end
  mx[x]=max(mx[x],size-siz[x]); if mx[x]<mx[root] then root=x;
end
void getdep(int64 x,int64 fa)
begin
  dep[x]=dep[fa]+s[x];
  for int64 i=c[x];i;i=last[i] do getdep(i,x);
end
void getsiz(int64 x,int64 fa)
begin
  siz[x]=1;
  if(f[x]!=fa)and(vis[f[x]]==0)then begin getsiz(f[x],x); siz[x]=siz[x]+siz[f[x]]; end
  for int64 i=c[x];i;i=last[i] do 
  if(i!=fa)and(vis[i]==0)then begin getsiz(i,x); siz[x]=siz[x]+siz[i]; end
end
void dfs2(int64 x,int64 fa)
begin
  inc(cnt); lb[cnt]=x;
  if(f[x]!=fa)and(vis[f[x]]==0)then dfs2(f[x],x);
  for int64 i=c[x];i;i=last[i] do 
  if(i!=fa)and(vis[i]==0)then dfs2(i,x);
end
int64 ef(int64 xl)
begin
  int64 anss=1,l=2,r=cnt2,mid;
  while l<=r do
  begin
    mid=(l+r)div 2;
    long double xl1=ans[lb2[mid]]-ans[lb2[mid-1]];
    xl1=xl1/(dep[lb2[mid]]-dep[lb2[mid-1]]);
    if xl1>=xl then begin anss=mid; l=mid+1; end else r=mid-1;
  end;
  exit(anss);
end
int64 work(int64 x,int dp)
begin
  vis[x]=1; int64 less=dep[x];
  if vis[f[x]]==0 then getsiz(f[x],x);
  for int64 i=c[x];i;i=last[i] do
  if vis[i]==0 then getsiz(i,x);
  if vis[f[x]]==0 then
  begin 
    size=siz[f[x]]; root=0; dfs(f[x],x); less=min(work(root,dp+1),less);
    cnt2=0; j=f[x];
    while(dep[j]>=less)and(dep[x]-l[x]<=dep[j])do
    begin
      while cnt2>1 do
      begin
        long double xl1=ans[lb2[cnt2]]-ans[lb2[cnt2-1]],xl2=ans[j]-ans[lb2[cnt2]];
        xl1=xl1/(dep[lb2[cnt2]]-dep[lb2[cnt2-1]]); xl2=xl2/(dep[j]-dep[lb2[cnt2]]);
        if xl1<=xl2 then dec(cnt2);else break;
      end
      inc(cnt2); lb2[cnt2]=j; j=f[j];
    end
    if cnt2>0 then
    begin
      int64 y=lb2[ef(p[x])]; 
      ans[x]=min(ans[x],ans[y]+(dep[x]-dep[y])*p[x]+q[x]);
    end
  end
  cnt=0;
  for int64 i=c[x];i;i=last[i] do
  if vis[i]==0 then dfs2(i,x);
  sort(lb+1,lb+cnt+1,xiaoyu); cnt2=0; j=x;
  for int64 i=1;i<=cnt;i++ do
  begin
    while(dep[j]>=less)and(dep[lb[i]]-l[lb[i]]<=dep[j])do
    begin
      while cnt2>1 do
      begin
        long double xl1=ans[lb2[cnt2]]-ans[lb2[cnt2-1]],xl2=ans[j]-ans[lb2[cnt2]];
        xl1=xl1/(dep[lb2[cnt2]]-dep[lb2[cnt2-1]]); xl2=xl2/(dep[j]-dep[lb2[cnt2]]);
        if xl1<=xl2 then dec(cnt2);else break;
      end
      inc(cnt2); lb2[cnt2]=j; j=f[j];
    end
    if cnt2>0 then
    begin
      int64 y=lb2[ef(p[lb[i]])]; 
      ans[lb[i]]=min(ans[lb[i]],ans[y]+(dep[lb[i]]-dep[y])*p[lb[i]]+q[lb[i]]);
    end
  end
  for int64 i=c[x];i;i=last[i] do
  if vis[i]==0 then
  begin size=siz[i]; root=0; dfs(i,x); work(root,dp+1); end
  exit(less);
end      
int main()
begin
  read(n); int64 t; read(t);
  for i=2;i<=n;i++ do
  begin
    read(f[i]); read(s[i]); read(p[i]); read(q[i]); read(l[i]);
    last[i]=c[f[i]]; c[f[i]]=i; ans[i]=999999999999999999;
  end
  getdep(1,0); dep[0]=-1;
  vis[0]=1; root=0; mx[0]=n; size=n; dfs(1,0);
  work(root,0);
  for int64 i=2;i<=n;i++ do begin write("%lld",ans[i]); writeln; end
end