2018 Multi-University Training Contest 1

2018 Multi-University Training Contest 1

题解

A - Maximum Multiple

题目描述：给定一个\(n\)，找到三个正整数\(x, y, z\)，满足\(n=x+y+z, x|n, y|n, z|n\)，求\(xyz\)最大值

solution
这道题竟然卡住了。。。
不妨设\(x \leq y \leq z\)，则\(z \geq \frac{n}{3}\)，所以\(z=\frac{n}{2}, \frac{n}{3}\)，假如\(z=\frac{n}{3}\)，则\(x=y=z=\frac{n}{3}\)为这种情况的最优解，假如\(z=\frac{n}{2}\), 则\(y \geq \frac{n}{4}\)，若\(y=\frac{n}{3}\),则\(x=\frac{n}{6}\), 不够三个都为\(\frac{n}{3}\)时优（因为\(y\)能取\(\frac{n}{3}\)，说明\(n\)为\(3\)的倍数，因此也能取三个都为\(\frac{n}{3}\)），若\(y=\frac{n}{4}\)，则\(x=\frac{n}{4}\)。
综上所述，只有三种情况：1、\(n=\frac{n}{3}+\frac{n}{3}+\frac{n}{3}\) 2、\(n=\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+\frac{n}{4}\) 3、无解

时间复杂度：\(O(1)\)

B - Balanced Sequence

题目描述：给定\(n\)个括号序列，求出按一定顺序排列后，连起来的括号序列的最长合法子序列（不是子串）。

solution
首先每个括号序列的合法子序列可以先加入答案，然后每个序列就会变成若干个')'接着若干个'('，记')'个数为\(a_i\)，'('个数为\(b_i\)，然后按照一定规则排序。

若\(a_i<b_i, a_j \geq b_j\)，则\(i\)排在\(j\)的前面
若\(a_i \geq b_i, a_j<b_j\)，则\(j\)排在\(i\)的前面
若\(a_i<b_i, a_j < b_j\)，则\(a\)比较小的排前面
若\(a_i \geq b_i, a_j \geq b_j\)，则\(b\)比较大的排前面

最后排完序拼起来算一次答案即可。

时间复杂度：\(O(n)\)

C - Triangle Partition

题目描述：给定平面上\(3n\)个点（任意三个点不在一条直线上），求出一种分成\(n\)个不相交的三角形的方案。

solution
按极角排序后的顺序依次构三角形即可。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

D - Distinct Values

题目描述：构造一个长度为\(n\)的序列，满足对于给定的\(m\)个区间，任意一个区间里的数字两两不同，求字典序最小的序列。

solution
将区间按左端点从小到大排序，左端点相同的只保留右端点最大的。
一开始整个序列都为\(1\)，记录当前填完\(R\)之前的数，用\(set\)记录当前可用的数字，做到第\(i\)个区间时，把前一个区间的左端点到\(min(R，i区间左端点-1)\)的数字放回\(set\)里面，然后贪心地填\(max(R+1, i区间左端点)\)到\(i\)区间右端点，填一个在\(set\)里删一个，更新\(R\)。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

G - Chiaki Sequence Revisited

题目描述：求

\[a_n=\left\{\begin{matrix} 1, & n=1,2\\ a_{n-a_{n-1}}+a_{n-1-a_{n-2}}, & n\geq 3 \end{matrix}\right. \]

的前\(n\)项和

solution
除了\(1\)出现了两次之外，其它数字\(x\)出现的次数为\(d, x=2^{d}y\)，所以可以二分出最后一个数字是多少，然后求和就好了。

时间复杂度：\(O(logn)\)

H - RMQ Similar Sequence

题目描述：给定一个长度为\(n\)的序列\(A\)，构造出它的笛卡尔树，然后有一个长度为\(n\)的\(B\)序列，\(B\)序列的每一位数服从\([0, 1]\)实数均匀分布，构造它的笛卡尔树，若两者相同，则该\(B\)序列的权值为所有数的和，否则为\(0\)，求权值的期望。

solution
答案为\(\frac{n}{2} \frac{A的拓扑序列个数}{n!}\)，后面\(A\)的拓扑序列个数有公式算:\(\frac{n!}{\prod size_i}\)，当时我是按儿子要小于父亲，用积分算出\(B\)序列的概率，而出现的概率就等于\(\frac{A的拓扑序列个数}{n!}\)

时间复杂度：\(O(n)\)

I - Lyndon Substring

题目描述：给定\(n\)个字符串，有\(m\)个询问，每次询问两个字符串连起来后的最长\(Lyndon word\)子串的长度。

solution
题解说一个字符串的最长\(Lyndon word\)子串的长度为最长\(Lyndon factorization\)（就是求一个字符串的最小循环表示的算法）后最长那个串的长度。因此问题在于如何合并两个\(Lyndon factorization\)，题解说利用单调性（\(Lyndon factorization\)后是单调不上升的）用两个二分即可，但还没想出来。

K - Time Zone

题目描述：给北京时间，问某个时区的时间。

solution
模拟

时间复杂度：\(O(1)\)