2017 NWERC

2017 NWERC

Problem A. Ascending Photo

题目描述：给出一个序列，将其分成\(m\)份（不需要均等），使得将这\(m\)份重新排列后构成的是不下降序列，输出最小的\(m-1\)。

solution
待解决。

Problem B. Boss Battle

题目描述：有环形的\(n\)根柱子，只有一根柱子后面有boss，每次向一根柱子投一个炸弹，炸弹波及范围为那根柱子和相邻的柱子，若boss在这三根柱子后面，则boss被炸死，若boss没有被炸死，则boss会选择原地不动或者走到相邻的柱子，问最坏情况下要用多少个炸弹。

solution
当\(n \leq 3\)时，答案是\(1\)。
但\(n>3\)时，观察可得答案是\(n-2\)。因为在每次扔完炸弹后，第二次扔在那个炸弹的顺时针数两个的位置，这样boss不可能在的位置就会增加一个（不可能存在的位置为一个连续的区间，顺时针最前增加两个位置，最后减少一个位置），最后剩下三个不确定的位置时，把炸弹扔到中间的柱子即可。

时间复杂度：\(O(1)\)

Problem C. Connect the Dots

题目描述：有\(4 \times 4\)十六个点，每个点有一个编号，按编号顺序一笔画，问最少需要多少条折线。

solution
假设折线由角度\(angle\)穿过\(i\)，则可以根据\(angle\)推出可以以什么角度穿过\(i+1\)，而可行的角度是一个连续区间。由\(4 \times 4\)的任两个点组成的角度不是很多，按这些角度搜索一下就好了。
这是大致的想法，具体还没实现出来。。。

Problem D. Dunglish

题目描述：给出一个荷兰文的句子(\(n\)个单词）以及\(m\)个荷兰文单词的英文翻译，但一些翻译是正确的，一些是错误的。判断这个句子是不是只有一种翻译，若只有一种翻译，则输出那种翻译，并判断这个翻译是正确的还是错误的；若有多种翻译，则输出有多少种翻译是正确的，有多少是错误的。

solution
模拟

时间复杂度：\(O(nlogm)\)

Problem E. English Restaurant

题目描述：饭店里有\(n\)个桌子，每个桌子最多有\(a_i\)个人坐。饭店经营\(t\)个小时，每个小时会有\(1\)~\(g\)个人来饭店，然后他们会选择一张没有人坐的，并且坐得下的最小的桌子坐下，如果没有，他们就会离开。坐下的人会到饭店结束经营才离开，问最后剩下人数的期望值。

solution
将\(a_i\)从小到大排序，大于\(g\)的\(a_i\)令其变成\(g\)即可。然后补\(t\)个\(g\)在最后，作为离开的人占位。
先预处理出\(g_{i, j}\)表示\([i, j]\)的桌子都被占，其它桌子没有被占的期望，计算方式是用区间\(dp\)。选\([i, j]\)中的一个\(k\)，表示是\([i, j]\)中最后占的桌子，计算期望值时要注意有一个组合数\(C_{j-i}^{k-i}\)，表示前\(i-j\)张桌子的排列顺序种数。
再利用\(g_{i, j}\)算出\(f_{i, j}\)表示前\(i\)张桌子占了\(j\)张期望的人数。枚举\(k\)表示\(i-k+1\)~\(i\)都占有，\(i-k\)不占，当\(k=0\)时表示\(i\)不占。注意这里也有一个组合数\(C_{j}^{k}\)，表示前\(j\)张桌子的排列顺序。

时间复杂度：\(O(n^3)\)

Problem F. Factor-Free Tree

题目描述：给出一棵带点权的树的中序遍历，构造一棵树，使得每个节点与它的祖先都互质，输出这棵树，或无解。

solution
首先预处理出每个节点\(i\)的左边第一个与\(i\)不互质的位置\(le[i]\)，以及右边第一个与\(i\)不互质的位置\(ri[i]\)。
接着搜索区间\([L, R]\)，表示现在在构造\([L, R]\)这棵树，然后在\([L, R]\)中找出一个与除它本身外所有数都互质的数，这个数作为树根，然后搜索左右子树。
这里有一个技巧，就是两头向中间找那个数，这样如果那个数在两端，在很快就能找到那个数，如果在中间，则分出的两个子树比较平衡，这会节省不少时间。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

Problem G. Glyph Recognition

题目描述：给出\(n\)个点，然后分别用正三、四、五、六、七、八边形围住这些点，要求正多边形面积最小；又用正多边形摆在点的中间，使得正多边形内（不包括边界）没有点，要求正多边形面积最大。分别求出这些正多边形对应的最小最大面积，求出最小比最大的最大值以及所对应的正多边形类型。注意：正多边形的中心在原点，且正多边形的一个顶点在\(x\)轴。

solution
模拟。

时间复杂度：\(O(n^2)\)

Problem H. High Score

题目描述：有四个数\(a, b, c, d\)，现将\(d\)分到\(a, b, c\)中，即\(a'=a+x, b'=b+y, c'=c+z, x+y+z=d, x, y, z \geq 0\)，使得\(a'^2+b'^2+c'^2+7 \cdot min\){\(a, b, c\)}最大，输出最大值。

solution
当\(d\)比较大时，肯定是全部分到最大的那个数比较好；当\(d\)比较小时就要枚举一些。所以定好一个界限，\(d\)大于这个界限时全部分到最大的那个数，否则枚举。

时间复杂度：\(O(7\times 10^7)\)

Problem I. Installing Apps

题目描述：有一个硬盘，容量为\(c\)，现有\(n\)个软件，每个软件下载到硬盘后大小为\(d_i\)，安装后为\(s_i\)，安装时\(d_i\)直接转换为\(s_i\)，因此装第\(i\)个软件前硬盘中至少有\(max\){\(d_i, s_i\)}容量。确定安装顺序，使得安装的软件数最多。

solution
按照贪心思想，可以按照安装后释放空间的大小来排序，即\(d_i-s_i\)从大到小排序。然后背包\(dp\)，因为这里要记录方案，所以要用二维数组来存储。

时间复杂度：\(O(nc)\)

Problem J. Juggling Troupe

题目描述：开始时\(n\)个人排成一列，每个人手上有至多两个球，每一轮手里有多于\(1\)个球的人扔一个球到左边，扔一个球到右边，如果那个人在最左边或最右边，则直接将球扔掉（即没有人接的球直接扔掉）。每一轮的球是同时扔的，问最后无法再进行时的状态（每一个人手上有多少个球）。

solution
找规律。发现如果只有一个\(2\)时，设\(2\)的位置为\(i\)，\(i\)的左边第一个\(0\)的位置为\(L\)，\(i\)右边第一个\(0\)的位置为\(R\)，最终的状态为：位置\(L, R\)变为\(1\)，位置\(L+R-i\)变为\(0\)，\([L, R]\)的其它位置变为\(1\)。
又发现每个\(2\)是独立的，即每个\(2\)可以不同时扔球，可以分开处理。所以最终的解法就是按照只有一个\(2\)的解法解决每个\(2\)即可。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

Problem K. Knockout Tournament

题目描述：有\(n\)个人进行淘汰赛，每个人有一个评分\(r_i\)，当评分为\(a\)的人遇到评分为\(b\)的人时，\(a\)赢得比赛的概率为\(\frac{a}{a+b}\)。现在要将这\(n\)个人排好顺序，使得原来排在第一的人赢得比赛的概率最大，求出这个概率。注意：\(n\)可能不是\(2\)的幂，则第一轮排在最后的一些人直接到第二轮，使得第二轮的人数是\(2\)的幂。

solution
按照一般思维，肯定是要赢的那个人遇到的人越垃圾越好，评分高的人遇到的人越强越好。所以将评分从大到小排序，第一轮处理一下就好了（可以补\(0\)），\(p[i][j]\)表示\(j\)在第\(i\)轮胜出的概率，设\(j\)在第\(i\)轮可能遇到的人为\(k\)，则\(p[i][j]+=p[i-1][j] \times p[i-1][k] \times \frac{r_j}{r_j+r_k}\)。\(k\)是一个区间，可以在\(logn\)时间内得出。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)