Codeforces Round #441 (Div. 2)

Codeforces Round #441 (Div. 2)

A. Trip For Meal

题目描述：给出\(3\)个点，以及任意两个点之间的距离，求从\(1\)个点出发，再走\(n-1\)个点的最短路径。

solution
当\(n=1\)时，答案为\(0\)，当\(n=2\)时，答案等于与开始点相连的两条边的最小值，当\(n>2\)时，答案等于与开始点相连的两条边的最小值+三条边最小值*\((n-2)\)
时间复杂度：\(O(1)\)

B. Divisiblity of Differences

题目描述：给出\(n\)个数，从中选出\(k\)个数，使得任意两个选出的数的差是\(m\)的倍数。输出其中一种方案。

solution
两个数的差是\(m\)的倍数，说明这两个数对\(m\)取余相等。所以可以统计对\(m\)取余每种余数有多少个，如果某一种余数超过或等于\(k\)个，则随意选择\(k\)个该种余数的数即是答案。
时间复杂度：\(O(n)\)

C. Classroom Watch

题目描述：给出一个数\(n\)，求有哪些正整数\(x\)，满足\(x\)的每一位的数的和加\(x\)等于\(n\)。

solution
因为\(n \leq 10^9\)，所以\(x\)的每一位的数的和最大是\(90\)，由于加法只能产生百位加一的效果，所以\(x\)的最高位到百位与\(n\)相同，或是\(x\)的百位比\(n\)少一。按此分成两种情况，然后枚举十位和个位即可。
时间复杂度：\(O(200)\)

D. Sorting the Coins

题目描述：一行\(n\)个'o'，然后依次将第\(p[i]\)位的'o'变成'x'，每次改变后进行以下操作：从左看到右，如果遇到第\(i\)位为'o'，\(i+1\)位为'x'，则交换这两位，然后从第\(i+1\)位继续往右看。如果某一轮看完后没有进行交换操作，则结束，输出看了多少轮，然后进行下一次的改变。

solution
手工画了样例后发现，除了最右边的连续的'x'不用动之外，其它'x'都要通过看一轮使它成为最右边连续的'x'，所以只要维护最右边有多少个连续的'x'即可。
时间复杂度：\(O(n)\)

E. National Property

题目描述：给出\(n\)个字符串，字符串的每一位都是一个数字，数字有大小写之分，任意大写数字比任意小写数字小，同种数字比较时，数字小的比较小。现在把某种数字从小写变成大写，使得这\(n\)个字符串从小到大排好序，输出一种可行的方案。

solution
考虑相邻两个字符串，只要所有的相邻字符串都满足前者小于后者，则这\(n\)个数就已经从小到大排好。相邻字符串比较：从左到右找到第一个不同的位置：
1、如果前者为数字，后者为空，则无解；
2、如果前者为空，后者为数字，则不用任何操作；
3、如果前者数字大于后者数字，则前者数字一定要变为大写；
4、如果前者数字小于后者数字，则这两种数字要同为大写或小写。
根据最后一种情况，我们可以从后者数字连一条有向边到前者数字，表示如果某个点变为大写(true)，则连出去的边指向的点都要为true，这就有点像2-SAT，但不同的是2-SAT可能有环，需要缩点，而这题一定不会有环。构图后按照2-SAT构造解的方式构造答案即可。
时间复杂度：\(O(n)\)

F. High Cry

题目描述：给出一个数组\(a[i]\)，求数对\((x, y)\)的个数，\((x, y)\)满足\((a[x] | a[x+1] | ... | a[y])>max\){\(a[x], a[x+1], ..., a[y]\)}

solution
从表达式可知，最大值是一个重要的值。所以可以枚举一个位置\(i\)作为数对\((x, y)\)之间的最大值，那么先可以预处理出\(i\)左边离\(i\)最近的大于\(a[i]\)的位置\(L[i]\)，以及\(i\)右边离\(i\)最近的大于\(a[i]\)的位置\(R[i]\)，因为\(x\)一定在\((L[i], i]\)中选，\(y\)一定在\([i, R[i])\)中选。
那\(x，y\)可以选什么位置呢？因为最后或操作后的数要大于\(a[i]\)，所以只要\([x, y]\)中存在一个数与\(a[i]\)或操作后大于\(a[i]\)即可，即存在一个数,\(a[i]\)的二进制第\(w\)位为\(0\),但它的第\(w\)位为\(1\)。所以我们可以预处理出\(i\)的左边离\(i\)最近的二进制第\(j\)位为\(1\)的位置\(Lone[i][j]\)，以及\(i\)的右边离\(i\)最近的二进制第\(j\)位为\(1\)的位置\(Rone[i][j]\)。
这样\(x\)的可选范围是\((L[i], max\){\(Lone[i][j]\)}\(]\), \(y\)的可选范围是\([min\){\(Rone[i][j]\)}\(, R[i])\)，而求答案时只要\(x,y\)有一个在可选范围内就是正确答案。
要注意的是\(a[i]\)相等的情况，可以规定\(a[L[i]] \geq a[i], a[R[i]]>a[i]\)，这样就能避免重复计算。
时间复杂度：\(O(nlogn)\)