2015佛山市选总结

Morning

P1

题目描述：给出一个0、1矩阵，每次选一格，则包括该格在内的左上角区域的数字反转，求将整个矩形变成0的最少次数。

solution
贪心，从右下角往左上角模拟即可。

P2

题目描述：给出一个图，途中的每条边必有一条反向边与其对应，问从0出发走完所有边的费用，不能则输出-1.

solution
题目描述满足欧拉回路，直接把所有边相加即可。只要所有边都属于0的连通块就有解，也就是说图中有孤立点也有解。

P3

题目描述：给出若干个关于N个点的不等式组，且每个点的取值范围为\([0,10000]\)，问N号点比1号点至少大多少，数据有矛盾则输出impossible

solution
典型差分约束系统，注意N号点至少比1号点高\(-10000\)分就可以了。

P4

题目描述：在地图上有金矿，银矿和工地，每个工地必须分配一个金矿和一个银矿，且每个矿只能被一个工地分配，问最多有多少个工地可以使用。

solution
典型网络流，注意把工地拆点限制流量。

Afternoon

P1

题目描述：有N堆石子，A和B轮流操作，每次选择一堆石子，可以移去整堆石子或移去的个数与这堆石子的数目互质，问先手是否有必胜策略。

solution
典型博弈论，构造SG函数0，定义num(x)=x的最小质因数是第几个质数
打表可知\(SG[x]=1+num(x),SG[0]=0,SG[1]=1\)
数学归纳法证明：
x为质数时必然满足
归纳假设：对于\(x=kd ,\text d为x的最小质因数\)，所有\((x,y)=1,y=pc,c\neq d,\text c为y的最小质因数\)，满足\(SG[y]=1+num(y)=1+num(c)\)
则x能到达的y的SG取尽\([1,num(d)]\)的数(其它数不太清楚)，而不能取\(num(d)+1\)，所以\(SG[x]=1+num(d)\)
证毕。

P2

题目描述：求字符串的第K小子串。

solution
典型后缀数组。

P3

题目描述：\(\frac{N(N+1)}{2}\)个人围成一圈，进行N-1轮操作，从编号为1的人开始报数，在第i轮报N-i+1的人出局,第i轮将会有N-i+1个人出局，求最后存活的人的编号。

solution
典型约瑟夫环，外加优化就好了。
\(O(n^2)\)

ans[1]=0;
long long cur=1;
for (int i=2; i<=N; ++i)
{
	long long s=ans[i-1];
	for (int j=1; j<=i; ++j) s=(s+i)%(++cur);
	ans[i]=s;
}

注意到第二个循环每次都是加i，我们可以考虑一次跳多步，跳到需要取模的那一步。可以证明算法是\(O(n)\)的。
\(O(n)\)

ans[1]=0;
long long cur=1;
for (int i=2; i<=N; ++i)
{
	long long s=ans[i-1];
	for (int j=1; j<=i;)
	{
		long long tmp=(cur-s)/(i-1);
		if (s+tmp*i<cur+tmp) ++tmp;
		if (j+tmp-1>i) tmp=i-j+1;
		cur+=tmp;
		s=(s+tmp*i)%cur;
		j+=tmp;
	}
	ans[i]=s;
}

P4

题目描述：两个字符串A和B
1、删除A或B的字符串首字符有该字符对应的代价
2、同时删除A和B的首字符有这两个字符对应的代价
3、删除A的首字符后可对B进行旋转操作
问删完的最小代价

solution
Unknown.