SG函数
作为博弈论的重要算法：
SG函数
Sprague-Grundy
一定要重点学习一下下（搞到我市选的时候崩了一题，泪奔~~~）
学习SG函数之前，先要知道Nim游戏
Nim游戏：两人对战，轮流操作，每次操作与人无关（就是A能做的，B也能做），当某方无法操作时，则该方败。
经典的Nim游戏有捡石子游戏：给出N堆石子，每次选择一堆石子，取走任意个，不可不取，不能继续操作的输。
经典的非Nim游戏有象棋：双方都不可以动对方的棋。
Nim游戏主要问题是：先手是否有必胜策略。
解决这个问题先定义游戏中的两种局面：P-position和N-position
P-position：上一次移动的人有必胜策略
N-position：现在移动的人优必胜策略
那么Nim游戏满足一下几个要求：
1、所有的最终局面（terminal—position）都是P-position
2、所有的N-position都可以移动到一个P-position
3、所有的P-position都不能移动到一个P-position
那么就可以判断一种局面是否是P-position。
关键是判断条件
先给出判断条件吧：
对于一个Nim游戏局面\(( a_{1}, a_{2}, ... , a_{n} )\),它是P-position当且仅当\(a_{1}\bigoplus a_{2}\bigoplus a_{3}...a_{n} =0 (\bigoplus \text 是异或号)\)
证明
1、对于terminal—position，异或和肯定是0，即是P-position，满足。
2、设该局面的异或和为K，K的最高位为D。那么有一个数在二进制下第D位肯定是1，姑且设其为\(a_{x}\)，令\(a_{x}' =a_{x}\bigoplus k\)，则 \(a_{x}' < a_{x}\)
$\because a_{1}\bigoplus a_{2}...a_{x}...\bigoplus a_{n} =K \(
\)\therefore a_{1}\bigoplus a_{2}...a_{x}' ...\bigoplus a_{n} =0\(
\)\because a_{x}' < a_{x} \(
\)\therefore \text 该操作可行\(
3、反证：设局面\)a_{1}\bigoplus a_{2}...a_{x}...\bigoplus a_{n} =0 \(
下一步局面为\)a_{1}\bigoplus a_{2}...a_{x}' ...\bigoplus a_{n} =0 \(
则两式相等，因为异或运算满足消去律，所以\)a_{x}' =a_{x}$
该操作不可行。
证毕。
所以直接把初始局面的异或和求出来就可以判断是否有必胜策略。
重点来了
每一堆可以取的数目不一样怎么办？？？
SG函数来拯救你！！！
题目描述：有n堆石子，第i堆石子每次只能拿\([1,i]\)，问先手是否有必胜策略。
因为每堆石子可以取的个数不一样，所以难以判断一个操作是否可行，也就说不能用上面的证明。
但可以利用SG函数来转化成普通的Nim游戏
先定义一个操作mex(minimal excludant)为集合运算，表示最小的不属于该集合的最小非负整数。例如\(mex\) { \(0, 1, 5\) } $ = 2\(，\)mex$ { \(1, 2, 5\) } \(= 0\)
\(SG[x]=mex\) { \(SG[y] | \text y是x的后继\) }
1、对于terminal-position，因为没有后继，所以\(SG=0\)
2、对于一个\(SG \neq 0\)的点，一定有一个后继的\(SG=0\)
3、对于一个\(SG = 0\)的点,一定没有一个后继的\(SG=0\)
4、一个点均可到达\([1,SG-1]\)的后继
咦~，怎么这么熟悉的
SG函数满足普通Nim游戏
所以只要把原来每一堆的个数变成SG函数所对应的值就可以了！！！
现在问题来了，SG函数怎么得到
我也只能说：打表找规律吧。
不过上述题目应该很容易就可以求出SG函数了。第i堆石子只能拿\([1,i]\)个石子，先举个例子吧：i=2
先把1~2i的SG求出来：SG[1]=1,SG[2]=2,SG[3]=0,SG[4]=1
好像\(SG[x]=x\%(i+1)\).
数学归纳法证明：
\([0,i]\)必然满足\(SG[x]=x\%(i+1)\).
归纳假设：对于\(x>i\)，所有\(y < x\)都满足\(SG[y] = y \% (i+1)\).
设\(x = k(i + 1) + b,0 \leq b < i+1 , k > 0\)
则对于任意x能到达的数\(y = (k - 1)(i + 1) + b + c,0 < c \leq i\)
\(SG[y] = (b + c) \% (i + 1)\)取完\(0\)到\(i\)所有非\(b\)的数
所以\(SG[x] = b\).
证毕。
