倍增法 and RMQ 问题的 ST 解法

什么是倍增？

倍增，从字面及数学的角度就是 ”成倍增长“ 的意思。这能使线性问题转化为数级处理，优化时间复杂度。

不是人话是不是？听不懂是不是？ 看这里。这是指我们在进行递推时，如果状态空间很大，通常的线性递推无法满足时间与空间复杂度的要求，那么我们可以通过成倍增长的方式，只递推状态空间中在 \(2\) 的整数次幂位置上的值作为代表。

因为基本定理：任意整数可以表示成若干个2的次幂项的和 这一性质，使用之前求出的代表值拼成所需的值。

”倍增“ 与 ”二进制划分“ 两个思想相互结合，降低了求解很多问题的时间与空间复杂度。快速幂其实就是 “倍增” 与 ”二进制划分“ 思想的一种体现 （不然你以为 \(O(n \log n)\) 的时间复杂度是吹出来的？）。

倍增的主要应用为：快速幂，RMQ 问题，ST 算法，LCA 等。

RMQ 问题 / ST 算法

关于 100 多行的线段树不香吗 \(\dots\) 你说的对，但我太蒟蒻了，不会。

著名的 ST 表大法能在 \(O(n \log n)\) 的时间复杂度预处理后以 \(O(1)\) 的时间复杂度查询对于一个序列，任意一对区间 \(\lbrack l, r \rbrack\) 中的最值是多少。

设 \(f_{i, j}\) 为序列中区间 \(\lbrack i, i + 2^j - 1 \rbrack\) 中的最值，也就是 \(i \sim 2^j\) 中的最值。

由于使用倍增思想，所以子区间长度成倍增长，所以当我们计算 \(f_{i, j}\) 时可以从之前的左半边和右半边转移过来，即 \(f_{i, j} = \max(f_{i, j - 1}, f_{i + 2^{j - 1}, j - 1})\)。

void ST1()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        f[i][0] = a[i];

    int num = log(n) / log(2) + 1;
    for (int j = 1; j <= num; j++)
    {
        for (int i = 1; i <= n - (1 << j) + 1; i++)
            f[i][j] = min(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
    }
    return ;
}

当询问区间最值时，我们计算出一个值 \(k\)，满足 \(2^k < r - l + 1 \le 2^{k + 1}\)，即为 \(2^k\) 是小于区间范围长度前提下最大的 \(k\)。

而这个值可能小于区间长度，所以我们要分两段进行求值，分别是 “从 \(l\) 开始的 \(2^k\) 个数” 和 “\(r\) 前的 \(2^k\) 个数。

\(\text{so } \max(a_l \sim a_r) = \max(f_{l, k}, f_{r - 2^k + 1, k})\)

int ST2(int l, int r)
{
    int k = log(r - l + 1) / log(2);
    return min(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
}

注：ST 表可以求 最大/最小值，你只需要把 \(\max\) 替换为 \(\min\) 即可。

板子：lg P1816，lg P3865

参考资料

https://www.dotcpp.com/course/947

https://www.cnblogs.com/boranhoushen/p/16557961.html

https://blog.nowcoder.net/n/63f14dae8a194960844facb24c23e58f?from=nowcoder_improve

图论算法：树上倍增法解决LCA问题 - hugeYlh - 博客园