DP 详解
DP 概述
DP(Dynamic programming,全称动态规划),是一种基于分治,将原问题分解为简单子问题求解复杂问题的方法。
动态规划的耗时往往远少于朴素(爆搜)解法。
动态规划 and 递归
之前说过,动态规划也是分治思路,而递归更是传统的分治思路,但时间复杂度却大相径庭,为什么呢?
动态规划是 自顶向上 思想,而递归是 自顶向下 解法。
自顶向上 and 自顶向下?
自顶向上
意思很简单,从下往上推导:
这也是为什么 动态规划算法 脱离了 递归 的函数,改用循环迭代推到的原因。
自顶向下
反过来,自顶向下就是从上往下推,触底后在将结果返回回来。
这也是为什么递归比动态规划时间复杂度高的多的原因。
我们可以看出,动态规划更像是递推算法的 plus 版。
状态转移方程
状态转移方程,就是如何将子问题转移至父亲问题的公式。
在简单 DP 中,转移方程可以直接套用至 dfs, bfs 等爆搜算法。
DP 最难的部分就是列出状态转移方程,如果没有状态转移方程,一切都白搭。
例:设
DP 如下:
f[1] = 1; f[2] = 1; for (int i = 3; i <= n; i++) f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]; // 转移方程 cout << f[n];
同样的,我们可以将转移方程套用在递归暴力上:
int f(int n) { if (n == 1 || n == 2) return 1; return f(n - 1) + f(n - 2); // 转移方程 }
动态规划要素
-
最优子结构:问题的最优解 包含 子问题最优解。即为:局部最优解 = 全局最优解。
-
无后效性:
-
在推导后面状态时,仅在意前面状态数值,不在意是如何推导出来的。
-
某状态确定后,不会因为后面的决策而改变前面的决策。
-
-
重叠子问题:不同的决策到达相同的状态时可能产生重复的状态,为了避免不必要的计算,我们通常使用 记忆化搜索(在计算出新状态时将它存储起来一遍下次使用)来解决,这也是最经典的 空间换时间。
不满足这三点你还想 DP?想 peach 呢?
状态的定义
前言:空间换时间
很简单的名字,即为使用空间的代价来确保不会超时。
状态?
状态,通俗来讲就是你
对于状态:
-
状态越多,表示的信息越多,空间越大。
-
反之,状态越少,表示的信息越少,空间越小。
在我们状态定义时,可能有这些情况:
所以,状态 and 状态转移方程时整个动态规划中最最最难的部分,想清楚这两点,这题也就解出来了。
参考资料
https://zh.wikipedia.org/wiki/动态规划
五大基本算法之动态规划算法 DP dynamic programming
例题
例题一思路
纯 DP
没看数据:好一个 dfs!
注:两种情况
-
拿本物品
-
3 倍奖金?
-
1 倍奖金?
-
-
不拿本物品
ll dfs(int i, int now, ll cnt) { if (i == n + 1) return cnt; if (!((now + 1) % 3) && ((now + 1) >= 3)) return max(dfs(i + 1, now + 1, cnt + (a[i] * 3)), dfs(i + 1, now, cnt)); else return max(dfs(i + 1, now + 1, cnt + a[i]), dfs(i + 1, now, cnt)); }
我们看题面,一眼看出的状态为:
但是,我们发现不满足无后效性。
根据上述方法,我们尝试使用空间的代价来优化。
将状态改为:
完整代码为:
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long int n; ll a[100005]; /* 20PTS ll dfs(int i, int now, ll cnt) { if (i == n + 1) return cnt; if (!((now + 1) % 3) && ((now + 1) >= 3)) return max(dfs(i + 1, now + 1, cnt + (a[i] * 3)), dfs(i + 1, now, cnt)); else return max(dfs(i + 1, now + 1, cnt + a[i]), dfs(i + 1, now, cnt)); } */ ll f[100005][3]; ll ans; int main() { cin >> n; for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i]; // cout << dfs(1, 0, 0) << "\n"; for (int i = 1; i <= n; i++) { f[i][0] = f[i - 1][0]; f[i][1] = f[i - 1][1]; f[i][2] = f[i - 1][2]; if (i >= 3) f[i][0] = max(f[i][0], f[i - 1][2] + (a[i] * 3)); f[i][1] = max(f[i][1], f[i - 1][0] + a[i]); if (i >= 2) f[i][2] = max(f[i][2], f[i - 1][1] + a[i]); ans = max(ans, f[i][0]); ans = max(ans, f[i][1]); ans = max(ans, f[i][2]); } cout << ans << "\n"; return 0; }
首先,我们欣赏一下原出题人的提示。
例题二前言:分类讨论
在看了许多不当人的讲解后,我浓缩出:分类讨论就是分类 --> 讨论!分类讨论就是将问题通过不同的结果 / 形式 / 不同点分成几类逐个解决。
例题二思路
既然说到分类讨论我们先来分个类。
最大最小怎么使用
最后比一下就好了。
完整 Code:
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long int n; ll c; ll a[100005]; ll solve() { ll original_sum = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) original_sum += a[i]; ll dp_max[100005], dp_min[100005]; dp_max[1] = a[1]; dp_min[1] = a[1]; ll maxx = dp_max[1]; ll minn = dp_min[1]; for (int i = 2; i <= n; i++) { dp_max[i] = max(a[i], dp_max[i - 1] + a[i]); dp_min[i] = min(a[i], dp_min[i - 1] + a[i]); maxx = max(maxx, dp_max[i]); minn = min(minn, dp_min[i]); } ll res = max((c - 1) * maxx, (c - 1) * minn); ll ans = original_sum + res; return ans; } int main() { cin >> n >> c; for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i]; cout << solve() << endl; return 0; }
作者:George0915,转载请注明原文链接:https://www.cnblogs.com/George222/p/18508452